树状数组

树状数组

树状数组:一个数组,支持单点修改和区间查询。复杂度\(O(nlogn)\)

lowbit

\(lowbit\)函数用于求某个数的二进制表示中的最低的一位\(1\)

例:\(6_{10}=110_{2}~~~~~~~lowbit(6)=10_{2}=2​\)

\(lowbit\)的两种方法

\((1)\)

int lowbit(x){
	return x-(x&(x-1));
}

例:\(1001100_{2}-1_{10}\)

\(~~~=1001011_{2}\)

显然减了1之后,最后一位1及以后相当于按位取反,与预算之后,最后一位1及后边的0都会变成零,在与原数相减就会得到\(lowbit\)

\((2)\)

int lowbit(x){
	return x&-x;//-x为x按位取反再加一
}

例:\(1001100->0110011->+1->0110100\)

\(~~~~~~~~0110100\)两数按位与之后为\(100_{2}\)

树状数组思想

\(A[i]\)为原数组,\(C[i]\)为前缀和。什么区间呢?

假设\(n=6\),

\(\sum_{i=1}^{6}=(A[1]+A[2]+A[3]+A[4])+(A[5]+A[6])\),而\(6\)的二进制是\(110\)\(110=100+10\),转化成十进制就是\(6=4+2\),和上面的求和公式很像。所以我们把\(n\)拆成几个区间来求和,按照\(n\)的二进制来拆分。

\(C[i]\)表示的就是从第\(i\)的元素往前\(lowbit(i)\)个元素的和。

功能及实现

单点修改

修改每个点,它的后面的数的前缀和都会改变,所以每次修改都要维护前缀和

void add(int x,int k){//在x的位置增加k
	while(x<=n){
		tree[x]+=k;
		x+=lowbit(x);
	}
}

区间查询

查询一段区间\([x,y]\)的和,可以转化为求\([1,y]-[1,x-1]\)的值

int getsum(int k){
	int ans=0;
	while(k){
		ans+=tree[k];
		k-=lowbit(k);
	}
}

区间修改

利用查分思想,每次加入当前数与前一个数的差,这样区间修改就变成单点修改

int main(){
	...
	int x,y=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>x;
		add(i,x-y);//add与上面一样
		y=x;
	}
	...
}

单点查询

差分,单点查询变区间查询

求逆序对

在求逆序对的问题中,树状数组中维护的是在第\(i\)个数插入之前,有多少比他大的数插进来了。

做法有很多。

因为一般给的数会很大,还会有负数,树状数组无法维护,所以需要离散化。

sort(temp+1,temp+1+n);
int cnt=unique(temp+1,temp+1+n)-temp-1;
for(int i=1;i<=n;++i) ~a[i]=lower_bound(temp+1,temp+1+cnt,a[i])-temp;

显然离散化之后,新的数,也就是在原来数组中按大小排序后的位置。手推可知,新数组的逆序对即为旧数组的逆序对。

也可以建结构体,两个变量分别表示原值和序号。按变量大小排序后,对序号建树状数组,其逆序对即为原序列逆序对。但有一点需要注意,若两数大小相同,需将原序列中排位靠前的数后插入。

bool cmp(const Dier &x,const Dier &y){
	if(x.x==y.x) return x.k<y.k;//因为我是用逆序插入,若顺序的话,需要反过来
	return x.x<y.x;
}

因为树状数组维护的是在\(i\)之前有多少比\(i\)大的数,所以每次插入的值为1,表示有一个数。插入可以逆序也可以顺序。顺序的话,就是用总共插入的数减去在它前面的数;逆序的话,直接求在它之前的数即可

//顺序
for(int i=1;i<=n;++i){
	ans+=getsum(n)-getsum(a[i].k);
	add(a[i].k,1);
}
//逆序
for(int i=n;i;--i){
	add(a[i].k,1);
	ans+=getsum(a[i].k-1);
}

完整代码

//单点修改,区间查询
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m,tree[500005];
inline int lowbit(int x){
	return x&-x;
}
inline void add(int x,int k){
	while(x<=n){
		tree[x]+=k;
		x+=lowbit(x);
	}
}
inline int sum(int k){
	int ans=0;
	while(k>0){
		ans+=tree[k];
		k-=lowbit(k);
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,x;i<=n;++i) scanf("%d",&x),add(i,x);
	for(int i=1,b,x,k;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&b,&x,&k);
		if(b==1) add(x,k);
		else printf("%d\n",sum(k)-sum(x-1));
	}
	return 0;
}
//区间修改,单点查询
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m;
long long tree[500005];
int lowbit(int x){
	return x&-x;
}
void add(int x,int k){
	while(x<=n){
		tree[x]+=k;
		x+=lowbit(x);
	}
}
long long sum(int x){
	long long ans=0;
	while(x>0){
		ans+=tree[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,x,y=0;i<=n;++i){
		scanf("%d",&x);
		add(i,x-y);
		y=x;
	}
	while(m--){
		int b,x,y,k;
		scanf("%d",&b);
		if(b==1){
			scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
			add(x,k),add(y+1,-k);
		}
		else{
			scanf("%d",&x);printf("%d\n",sum(x));
		}
	}
	return 0;
}
//求逆序对,结构体+逆序插入
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n;
long long ans,tree[500005];
struct Dier{
	long long x;
	int k;
}a[500005];
long long read() {
	long long x=0;int f=0;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){f|=c=='-';c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return f?-x:x;
}
bool cmp(const Dier &x,const Dier &y){
	if(x.x == y.x) return x.k < y.k;
	return x.x<y.x;
}
int lowbit(int x){
	return x&-x;
}
void insert(int x,int k){
	while(k<=n){
		tree[k]+=x,k+=lowbit(k);
	}
}
long long getsum(int k){
	long long sum=0;
	while(k){
		sum+=tree[k],k-=lowbit(k);
	}
	return sum;
}

int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i].x=read(),a[i].k=i;
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	for(int i=n;i;--i){
		insert(1,a[i].k);
		ans+=getsum(a[i].k-1);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}
//求逆序对,离散化+顺序插入
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long read(){
	long long x=0;int f=0;char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0') f|=c=='-',c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return f?-x:x;
}
int n,a[500010],temp[500010],tree[500010];
long long ans;
inline int lowbit(int x){
	return x&-x;
}
int getsum(int x){
	int ans=0;
	while(x){
		ans+=tree[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return ans;
}
void add(int x){
	while(x<=n){
		++tree[x];
		x+=lowbit(x);
	}
}
int main() {
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read(),temp[i]=a[i];
	sort(temp+1,temp+1+n);
	int cnt=unique(temp+1,temp+1+n)-temp-1;
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=lower_bound(temp+1,temp+cnt+1,a[i])-temp;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		ans+=getsum(n)-getsum(a[i]);
		add(a[i]);
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

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posted @ 2018-10-16 08:47  Kylin_Seven  阅读(163)  评论(2编辑  收藏  举报