14.Prim算法求最小生成树

 

 最小生成树的图对应的图都是无向图，最小生成树没有自环

稠密图用朴素版的Prim算法，O(n ^ 2)

稀疏图用堆优化版的Prim算法,O(m log n)

Kruskal算法，O(m log m)和O(m log n)级别一样，m < n ^ 2，先对所有边从小到大排序

如何选择：

稠密图直接朴素版的Prim算法

稀疏图Kruskal算法

堆优化版的Prim算法一般不常用

二分图：

 如何判断一个图是不是二分图：dfs，染色法，O(n + m)

匈牙利算法：求二分图的最大匹配，最坏O(nm)，一般远小于

 先讲朴素版的Prim算法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
int g[N][N]; //邻接矩阵
int dist[N];
bool st[N];
int n, m;
int prim() {
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist); //初始化距离
    int res = 0; //最小生成树里所有边的长度之和
    for (int i = 0; i < n; i++) { //n次迭代
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) {
                t = j;
            }
            //t == -1表示如果还没有找到一个点
        } //找到不在集合当中的，距离最近的点
        //集合的意思是：当前的生成树，当前的这个连通块
        //集合S表示，当前已经在连通块中的所有的点
        if (i && dist[t] == INF) { //如果不是第一个点的话
            return INF; //不连通的话，不存在最小生成树
        }
        if (i) { //只要不是第一个点
            res += dist[t];
        } //先加进去再更新
        for (int j = 1; j <= n; j++) { //更新距离
            dist[j] = min(dist[j], g[t][j]); //这个点到集合的距离
        }
        st[t] = true;
    }
    return res;
}
int main() {
    cin >> n >> m;
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c); //重边只留最小边
    }
    int t = prim();
    if (t == INF) {
        cout << "impossible" << endl;
    } else {
        cout << t << endl;
    }
    return 0;
}