【线性代数】方程组的几何解释

线性方程组可以从行和列两种角度解释

 

举个简单的例子

 

从行来看：

上述方程可以看成二维平面上两条直线x + 2y = 3 和 3x + y = 4的交点

如图， 做出两条直线， 发现唯一交点（1， 1）即为方程组的解

 

 

 

从列来看：

上述方程可以看成二维向量的线性组合

可以简写为：

 

 

 如图，当向量（1，2）和（3，1）以系数x=1，y=1组合时，可以得到向量（3，4）

 

 

总结

 

 从行角度可以看成，n维空间下m个线性方程确定的几何图形的交，方程有解当且仅当存在m个图形的交点，且每个交点对应方程组的一个解；

从列角度可以看成， n个m维向量的线性组合，方程有解当且仅当（b1,b2...bm）可以表示成（a11, a21 ... am1）,（a12, a22 ... am2）...... (a1n, a2n ... amn)这n个向量的线性组合，

每个线性组合对应方程组的一个解。