牛客网-psd面试(最长公共子序列&回文串)

链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/90/D
来源：牛客网

掌握未来命运的女神 psd 师兄在拿了朝田诗乃的 buff 后决定去实习。
埃森哲公司注册成立于爱尔兰，是一家全球领先的专业服务公司，为客户提供战略、咨询、数字、技术和运营服务及解决方案。他们立足商业与技术的前沿，业务涵盖40多个行业，以及企业日常运营部门的各个职能。凭借独特的业内经验与专业技能，以及翘楚全球的交付网络，他们帮助客户提升绩效，并为利益相关方持续创造价值。埃森哲是《财富》全球500强企业之一，目前拥有约41.1万名员工，服务于120多个国家的客户。于是psd打算去埃森哲公司投一下简历。
于是他用英文写了一篇简历，由于手速太快了以致自己都不知道写了什么。
然而面试官 xwc 一眼就看到了重点：大学打过 ACM！
xwc：“
听说你很低袄？考你个题：
忽略字母大小写，你这篇简历去掉最长的回文子序列后还有多长？
”
psd 顺手就把这个问题抛给了你。
输入描述:
多组输入，每组输入一个长度不超过 1234 的没空格的字符串，是 psd 的简历。
输出描述:
每组输出一个整数，如题。
示例1
输入
google
输出
2
示例2
输入
aBc,bAd
输出
2

所谓求最长回文子序列就是求原串和原串倒过来的LCS，注意题目中要求除去最长回文子序列剩下的长度。

那么如何求LCS呢。
DP操作，DP数组中的i和j分别表示在两串中，分别取到前i位和前j位时，两个前缀子串所递推得到的最长公共子序列。
因此我们将数组中的0位【i,0】和【0，i】分别初始化为0，表示无论i是多少，另一个串前缀取几位，与当前串的空串都不会有任何公共子序列。

接着我们开始递推，遍历i，j以对比两串中相等的字符，一旦遇到相等的字符，我们将从i-1,j-1的位置继承状态，并延续继承到的最长公共子序列的记录值，也就是+1操作，表示，当两串的第i位字符和第j位字符相等时，将从不包括这两个字符的前缀子串里得到的最长公共子序列+1，得到当前位置的新的最长公共子序列。也就是求解当前i,j的状态，来自于i-1,j-1的状态+1获得。

而当i，j位置的字符不等时，当前位不能延续最长公共子序列的值，只能从之前求得的值中继承。那么我们要求最长的公共子序列，就是要继承所有状态中最大的值，也就是三个位置中选最大值，即i-1,j 和i,j-1和i-1,j-1三个方向取最大值继承。这样递推，每次都使用最大值，继承最大值，延续最大值，将得到的结果也是第lenx,leny处，整个串的最长公共子序列。

于是我们得到状态转移方程：

可以看到，就像之前说的，只有字符相等时，才会有+1的延续，而且只从i-1和j-1处继承，可能你会问，为什么不取3个方向的最大值继承并延续，是因为我们当前匹配成功的是第i和j个字符，那么前i位前缀中已经和前j位前缀得到了一个最大值，前面提到，我们从i-1,j-1位继承，是因为我们第i位与第j位相等了，我们此处一定能算上一个公共的子序列，那么如果除去这个新获得的公共字符，那么就是i-1,j-1的字符串进行比较，只能从没有去i和j的前缀中取一个状态。

如果我们取了i-1,j表示j字符我们已经取到过了，在这个状态中即一个串的前j位和另一个串的前i-1位的最长公共子序列值，那就不存在我们取j位和i位相等的情况了，因为j早就被其他字符所匹配过了。同理i,j-1也是如此，既然这个状态中i已经被配过，新来 j和谁配？明明和i相等，但是i被别的字符给配走了，无法形成一个新的公共字符以增长最长公共子序列值。

总结一下，即增长最长公共子序列只能从i-1,j-1这个状态继承并延续，因为要改变这个状态，需要的是不影响当前匹配状态的上一个状态。 而当不匹配当前字符时，我们选择延续值最大的那个匹配状态，也就是进行i-1,j-1 和i-1,j和j,j-1三选一的操作，因为当前已经不匹配了，我要继续读取新字符检查是否匹配，对于废掉的当前位，我们不需要对上一个状态有什么特殊的要求，因此直接取最大的保留下来即可，为将来可能出现的公共字符提供一个最优解来延续。

就这样递推到字符末尾即可得到两个完整串的最长公共子序列。

#include<stdio.h>///最长公共子序列
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int vis[2008][2009],t;
int main()
{

    char x[2005];
    char y[2004];
    while(scanf("%s",x+1)!=EOF)
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        int lx=strlen(x+1);
        for(int i=1; i<=lx; i++)///回文串子序列，序列中选出一段不连续的子序列使其为回文串
            if(x[i]>='a'&&x[i]<='z') x[i]=x[i]-'a'+'A';///将原串倒过来，计算两串的最长公共子序列即最长回文串
        int ly=0;
        for(int i=lx; i>=1; i--) y[++ly]=x[i];
//        printf("%s  \n%s\n",x+1,y+1);
        for(int i=1; i<=lx; i++)///边界初始化，当空串和有长度的串比较时，公共子序列长度为0
        {
            vis[i][0]=0;
        }
        for(int i=1; i<=ly; i++)
        {
            vis[0][i]=0;
        }
        vis[0][0]=0;///空串比较空串
        for(int i=1; i<=lx; i++)///dp数组中i和j表示，当一个串长i，另一个串长j时，在此情况下的最长公共子序列
        {
            for(int j=1; j<=ly; j++)///因此，每次增加一个串的长度i或j，对比其字符是否相相等的情况下说明此字符将延续最长公共子序列，继承i-1,j-1(两串的字符都不取当前字符的最长值)
            {///当两当前对比字符相等时，直接从i-1,j-1处的值+1，不从i-1,j和i,j-1处继承
                if(x[i]!=y[j])
                {///两字符不等时，从三个方向取最大值来继承

                    vis[i][j]=vis[i-1][j-1];
                    vis[i][j]=max(vis[i-1][j],max(vis[i][j],vis[i][j-1]));
                }
                else
                    vis[i][j]=vis[i-1][j-1]+1;
            }
        }
//        printf("   ");///这是一个很美的动态规划形成的递推表格，想要了解过程的可以解开注释看一下过程
//        for (int i=1; i<=lx; ++i)
//            printf(" %c",x[i]);
//        puts("");
//        for(int i=0; i<=ly; i++)
//        {
//            printf("%c ",i==0?' ':y[i]);
//            for(int j=0; j<=lx; j++)
//                printf("%d%c",vis[i][j],j==lx?'\n':' ');
//        }
        printf("%d\n",ly-vis[lx][ly]);
    }
    return 0;
}