0-1背包的递归与非递归实现

 1/*0-1背包递归*/
 2#include<iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;

int w[]={1,3,4,5};//物品重量数组
int v[]={2,30,44,20};//物品价值数组
int contain=5;//背包容量
int y[4]={-1,-1,-1,-1};//解向量,y[i]=1表示选取物品，y[i]=0表示不选取物品

int f(int n,int contain)
{
    if(n==0 || contain==0){//当物品数量为0，或者背包容量为0时，最优解为0
        return 0;
    }
    else
    {
        //从当前所剩物品的最后一个物品开始向前，逐个判断是否要添加到背包中
        for(int i=n-1;i>=0;i--){
            //如果当前要判断的物品重量大于背包当前所剩的容量，那么就不选择这个物
            //在这种情况的最优解为f(n-1,C)
            if(w[i]>contain){
                y[i]=0;
                return f(n-1,contain);
            }
            else
            {
                //如果当前待判断的物品重量wi<C,那么就选取f(n-1,C)和vi+f(n-1,C-wi)中的最大值
                int tmp1=f(n-1,contain);//不选择物品i的情况下的最优解
                int tmp2=v[i]+f(n-1,contain-w[i]);//选择物品i的情况下的最优解
                //返回选择物品i和不选择物品i中最优解大的一个
                if(tmp1>tmp2){
                    y[i]=0;//这种情况下表示物品i未被选取
                    return tmp1;
                }
                else
                {
                    y[i]=1;//物品i被选取
                    return tmp2;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int maxvalue=f(4,5);
    for(int i=0;i<4;i++){
        if(y[i]==1)
        {
            cout<<"Object"<<i+1<<"is selected"<<"It's value is"<<setw(2)<< 
            v[i]<<"It's Weight is"<<setw(2)<<w[i]<<endl;
        }
    }
    cout<<"Maximum Value is"<<maxvalue<<endl;
    return 0;
    
}

/* 0-1背包非递归*/
#include "stdio.h"
#define N 100

int main()
{
    void Knapsack(int [],int [],int ,int ,int [][1000]);
    void Traceback(int [],int [],int ,int ,int [][1000],int []);
    int n,i,c,v[N+1],w[N+1],m[N+1][1000],x[N+1];
    //v[]:价值,w[]:重量,c:背包可容纳重量,n:物品件数
    //m[][]:存放最大总价值的数组
    //m[i][j]表示背包容量为j,可选择物品为i,i+1,...,n时0-1背包问题的最优值
    //x[i]表示是否放入第i件物品，1为是，0为否
    printf("input n:");
    scanf("%d",&n);
    printf("input c:");
    scanf("%d",&c);
    printf("input v:");
    for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&v[i]);
    printf("input w:");
    for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
    Knapsack(v,w,c,n,m);
    Traceback(v,w,c,n,m,x);
    printf("answer:%d\n",m[1][c]);
    for(i=1;i<=n;i++)
      if(x[i]) printf("%d ",i);
    printf("\n");
    
    return 0;
}

void Knapsack(int v[],int w[],int c,int n,int m[][1000])
//v[]:价值,w[]:重量,c:背包可容纳重量,n:物品件数
//m[][]:存放最大总价值的数组
//m[i][j]表示背包容量为j,可选择物品为i,i+1,...,n时0-1背包问题的最优值
{
    int i,j,t;
    int jMax; 
    jMax=w[n]-1<=c? w[n]-1:c;
    //jMax是使m[n][x]为0的x最后下标
    for(j=0;j<=jMax;j++) m[n][j]=0;
    //对于背包容量k(0<=k<=jMax),物品n是超重的,故在这些容量下,一定不会选择物品n
    //故(m[n][0],m[n][1],...m[n][jMax-1],m[n][jMax]) = 0
    for(j=w[n];j<=c;j++) m[n][j]=v[n];
    //对于背包容量k(w[n]<=k<=c),物品n是可容纳的,故在这些容量下,选择物品n
    //以下是前面两个for循环的实例：
    //例1:n=6,w[6]=9,c=12,则(m[6][0],m[6][1],m[6][2],...m[6][7],m[6][8])=0
                          // (m[6][9],...m[6][12]=v[6]
    //例2:n=6,w[6]=9,c=8,则(m[6][0],m[6][1],m[6][2],...m[6][8],m[6][9])=0
    
    //到此为止，已经求出可选择物品只有第n件时在重量k(0<=k<=c)情况下的最优值
    //接下来求可选择物品为(第n-1件、第n件)，(第n-2件、第n-1件、第n件)，...，(第2件、第3件...第n件) 在重量k(0<=k<=c)情况下的最优值
    for(i=n-1;i>1;i--)
    {
        jMax=w[i]-1<=c? w[i]-1:c;
        //jMax是使m[i][x]为0的x最后下标
        for(j=1;j<=jMax;j++) m[i][j]=m[i+1][j];
        //对于背包容量k(0<=k<=jMax),物品i是超重的,在这些容量下，一定不会选择物品i
        //即(m[i][1]=m[i+1][1],m[i][2]=m[i+1][2],...,m[i][jMax]=m[i+1][jMax];
        for(j=w[i];j<=c;j++) 
        {
            //对于背包容量k(w[i]<=k<=c),物品i是可容纳的,但是否一定选择物品i?
            t=w[i];
            m[i][j]=m[i+1][j]>=m[i+1][j-t]+v[i]?m[i+1][j]:m[i+1][j-t]+v[i];
            //以上语句你能看明白，这是0-1背包模型的关键
        }
        //到此为止，已经求出可选择物品为(第n-1件、第n件)，(第 n-2件、第n-1件、第 n件)，...，(第 2件、第 3件...第 n 件) 在重量 k(0<=k<=c)情况下的最优值
        //接下来是求可选择物品为(第 1件、第 2件...第 n件) 在重量 k(0<=k<=c)情况下的最优值吗？
        //No!只需求可选择物品为(第 1件、第 2件...第 n件) 在重量 c(真正的背包容量)下的最优值
        m[1][c]=m[2][c]; //假设不放入第一件物品
        t=w[1];
        if(w[1]<=c) m[1][c]=m[1][c]>=m[2][c-t]+v[1]?m[1][c]:m[2][c-t]+v[1];
        //可以容纳第一件物品的情况下，该如何选择？
    }
}

void Traceback(int v[],int w[],int c,int n,int m[][1000],int x[])
{
    //v[]:价值,w[]:重量,c:背包可容纳重量,n:物品件数
    //m[][]:存放最大总价值的数组
    //m[i][j]表示背包容量为j,可选择物品为i,i+1,...,n时0-1背包问题的最优值
    //x[i]表示是否放入第i件物品，1为是，0为否
    int i;
    for(i=1;i<n;i++)
      if(m[i][c]==m[i+1][c]) x[i]=0;
      //可选择物品中有第i件物品或没有第i件物品，最优值都是一样的，故一定没有放入第 i件物品
      else 
      {
            x[i]=1;
            c=c-w[i];
            //这个语句很重要，为判断是否选择了第 i+1件物品做准备
      }
      if(m[n][c]>0) //单独判断是否选择了第 n件物品
         x[i]=1;    
      else x[i]=0;
}