线性变换和线性映射(一）
线性空间
定义：设V是一个非空集合，P是一个数域。在V上定义了加法（记为“＋”）和数乘（记为“·”）两种运算，α，β和γ为V中的元素，若对\(\forall\)α，β和γ满足如下规则：
1. ɑ+β=β+ɑ
2. (α+β)+γ=α+(β+γ)
3. 0+α=α
4. 1·α=α
5. 对任意α，均存在β，使得ɑ+β=0
6. k(mα)=(km)α
7. (k+m)α=kα+mα
8. k(ɑ+β)=kα+kβ
其中k，m为数域P中的任意数。则称V为数域P上的线性空间，线性空间中的元素称为向量。
注：此处的向量不单单指二维平面或n维空间中的向量，只要某个集合满足以上几个条件，该集合中的元素均可称为向量
基和坐标
定义：若在线性空间V中存在一组线性无关的向量\(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\)，使得对于任意一个属于V中的向量α均可由这一组线性无关的向量线性表示，则称向量组\(\left\{a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\right\}\)为V的一组基。若α=\(k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+...+k_{n}a_{n}\)，则称\((k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{n})^T\)为α在基\(\left\{a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\right\}\)下的坐标。
eg：\(P_{n} [x]=\left\{\sum_{i=0}^{n-1}a_{i}x^{i}|a_{i}\in R\right \}\)即为一个线性空间，它的一个基为\(\left\{1,x,x^2,...,x^{n-1}\right\}\)，\(f(x)=1+x+x^3\)在该组基下的坐标为\((1,1,0,1,0,0,...,0)^T\)
注：此处的基和本科线性代数中的基不一样，这里的基不但可以是线性无关的列向量的组合，还可以是一组矩阵或一组变量等，如例子中的基便是\(\left\{1,x,x^2,...,x^{n-1}\right\}\)，显然1，x等不是列向量
线性变换和线性映射
定义：设V，U均为数域P上的线性空间，若映射\(f：V\longrightarrow U\)满足以下两个条件：
- 对\(\forall x\in V，k\in P，f(kx)=kf(x)\)
- 对\(\forall x,y\in V，f(x)+f(y)=f(x+y)\)
则称\(f\)是从\(V\)到\(U\)的线性映射。把从\(V\)到\(U\)的线性映射的全体记为\(Hom(V,U)\)，若\(U=V\)，则将这个映射\(f\)称为线性变换
线性映射举例 - 列向量空间映射：设\(A\in F^{s\times n}，\)映射\(f:V^n \longrightarrow V^s\)定义为：\(\forall x\in F^n,f(x)=Ax\)
即对任意一个n维列向量，通过左乘一个s×n的矩阵后，均可以把这个n维列向量变成一个s维的列
向量。因此，对于任意一个n维空间中的列向量，通过矩阵A，都可以使它与s维空间中的列向量一 一 对应，类似于一元函数中的x和y 一 一 对应，而矩阵A，就代表了一种线性变换。
- 多项式空间映射：映射\(f：F_{n} [x]\longrightarrow F_{n}[x]\)定义为：\(\forall p(x)\in F_{n}[x]，f(p(x))=p'(x)\)
即对任意一个最高次数不超过n-1的多项式，通过求导这种线性映射，可以将其与另外一个多项
式 一 一 对应起来。
- 矩阵空间映射：设\(A\in F^{n\times n}，\)映射\(f：F^{n\times n}\longrightarrow F^{n\times n}\)定义为：\(\forall X\in F^{n\times n}，f(x)=XA\)
值域和核子空间
值域定义：设V为数域P上的线性空间，且\(V=L(α_{1},α_{2},...,α_{n})\)，其中\(L(α_{1},α_{2},...,α_{n})\)表示由向量\(α_{1},α_{2},...,α_{n}\)所生成的子空间，子空间也是一个线性空间，则\(f\)的值域\(f(V)=L(f(α_{1}),f(α_{2}),...,f(α_{n}))\)，即值域是由\(f(α_{1}),f(α_{2}),...,f(α_{n})\)所生成的子空间。记为\(R(f)\)
eg：求线性映射\(f\)的值域，其中\(f：F_{n+2} [x]\longrightarrow F_{n+2}[x]\)定义为：\(\forall p(x)\in F_{n+2}[x]，f(p(x))=p'(x)\)
\(Sol：\)设\(\begin{equation}
\begin{aligned}
p(x)=&a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+...+a_{n}x^n \\
&+a_{n+1}x^{n+1}
\end{aligned}
\end{equation}\)，其中\(a_{i}(i=0,1,2,...,n+1)\)为任意常数，则\(p'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^2+...+(n+1)a_{n+1}x^n\)，即值域为\(\begin{equation}
\begin{aligned}
&f(F_{n+2}[x])=p'(x)\\
=&\left.\{\sum_{i=1}^{n+1}ia_{i}x^{i-1}|a_{i}\in C \right.\\
&\left.(i=1,2,3,...,n+1) \right.\}
\end{aligned}
\end{equation}\)
核子空间定义：设V为数域P上的线性空间，则核子空间\(f^{-1}(\theta)=\left \{x\in V| f(x)=\theta \right \}\)，其中\(\theta\)为零向量，记为\(K(f)\)。换句话说，核子空间即为经过映射后为零向量的原像集合。
eg：求线性映射\(f\)的核子空间，其中\(f：F_{n+2} [x]\longrightarrow F_{n+2}[x]\)定义为：\(\forall p(x)\in F_{n+2}[x]，f(p(x))=p'(x)\)
\(Sol：\)设\(\begin{equation}
\begin{aligned}
p(x)&=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+...+a_{n}x^n\\
& +a_{n+1}x^{n+1}
\end{aligned}
\end{equation}\)，其中\(a_{i}(i=0,1,2,...,n+1)\)为任意常数，则\(p'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^2+...+(n+1)a_{n+1}x^n\)，要使\(f(p(x))=\theta\)，即\(p'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^2+...+(n+1)a_{n+1}x^n=0\)，则\(a_{1}=a_{2}=...=a_{n+1}=0\)，因此\(f\)的核子空间\(f^{-1}(\theta)=\left \{a_{0}| a_{0}\in C \right \}\)
eg：求线性映射\(f\)的核子空间，其中\(f：V^{n} \longrightarrow V^{s}\)定义为：\(\forall x\in V^n,f(x)=Ax\)，其中\(A\in F^{s\times n}\)
\(Sol：\)要求核子空间，即求使\(Ax=0\)成立的\(x\)的集合，因此\(f\)的核子空间为线性方程组\(Ax=0\)的基础解系构成的子空间
线性映射(变换)的矩阵
线性映射(变换)的矩阵定义：设\(f\in Hom(V,U)\)，选定基偶：\(V:α_{1},α_{2},...,α_{n}\)，\(U:β_{1},β_{2},...,β_{s}\)，若\((f(α_{1}),f(α_{2}),...,f(α_{n}))=(β_{1},β_{2},...,β_{s})A\)，则称\(A\)为\(f\)在选定基偶下的矩阵，若\(V=U\)，则称\(A\)是线性变换\(f\)在所选基下的矩阵。其中\(A=\begin{bmatrix}
a_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\
a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\
:& :& :& :\\
a_{s1}& a_{s2}& ...& a_{sn}
\end{bmatrix}\)，即\(\left\{\begin{matrix}
f(\alpha_{1})=a_{11}\beta_{1}+a_{21}\beta_{2}+...+a_{s1}\beta_{s}\\
f(\alpha_{2})=a_{12}\beta_{1}+a_{22}\beta_{2}+...+a_{s2}\beta_{s}\\
...\\
f(\alpha_{n})=a_{1n}\beta_{1}+a_{2n}\beta_{2}+...+a_{sn}\beta_{s}
\end{matrix}\right.\)
注：此处的\(α_{1},α_{2},β_{1},β_{2}\)等可以为变量，可以为矩阵，也可以是列向量
eg：\(f\in Hom(F^{2\times 2},F^{2\times 2})\)定义为：\(f(X)=\begin{pmatrix}
a-3b& b+2c\\
a-b-c& a+b-3c+4d
\end{pmatrix}\)，其中\(X=\begin{pmatrix}
a& b\\
c& d
\end{pmatrix}\in F^{2\times 2}\)，求\(f\)在基\(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\)下的矩阵
\(Sol：\)由\(X=\begin{pmatrix}
a& b\\
c& d
\end{pmatrix}\)，\(f(X)=\begin{pmatrix}
a-3b& b+2c\\
a-b-c& a+b-3c+4d
\end{pmatrix}\)得
\(\begin{equation}
\begin{aligned}
&f(E_{11})=\begin{pmatrix}
1& 0\\
1& 1
\end{pmatrix}\\
&=1\cdot E_{11}+0\cdot E_{12}+1\cdot E_{21}+1\cdot E_{22}
\end{aligned}
\end{equation}\)（即\(X=E_{11}\)时，
\(a=1,b=c=d=0\)，将它们代入\(f(X)\)中，即可得\(f(E_{11})\)）.
同理可得\(\begin{equation}
\begin{aligned}
f(E_{12})&=\begin{pmatrix}
-3& 1\\
-1& 1
\end{pmatrix},\\
f(E_{21})&=\begin{pmatrix}
0& 2\\
-1& -3
\end{pmatrix},\\
f(E_{22})&=\begin{pmatrix}
0& 0\\
0& 4
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}\).
故\(\begin{equation}
\begin{aligned}
&(f(E_{11}),f(E_{12}),f(E_{21}),f(E_{22}))\\
=&(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})\begin{pmatrix}
1& -3& 0& 0\\
0& 1& 2& 0\\
1& -1& -1& 0\\
1& 1& -3& 4
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}\)(注意这里的乘法为分块矩阵的乘法，而不是一个2×8的矩阵去乘一个4×4的矩阵)
浙公网安备 33010602011771号