矩阵的满秩分解

参考资料

https://wenku.baidu.com/view/da5a1f14f18583d049645976.html?re=view

今天看SVD（奇异值分解），讲到了满秩分解，我查阅了一下资料，顺便做一下笔记。

定理

设A∈Cm×nr，那么存在B∈Cm×rr,C∈Cr×nr，使得：A=BC；其中B为列满秩矩阵，C为行满秩矩阵；这样的分解为矩阵的满秩分解。

证明1

因为rank(A)=r,所以A有r个线性无关的列向量ai1,ai2,ai3,…,air，记作F=(ai1,ai2,ai3,…,air)，而A的所有列向量均可由他们线性表示，即存在r×n 的矩阵G，使得A=FG，显然F∈Cm×rr,又r=rank(A)=rank(FG)≤rank(G)≤r,即rank(G)=r

证明2

因为A的秩为r ，所以由等价分解原理可知，存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=(Er000)；令F=P−1(Er0)，G=(Er0)Q−1，其中设B=(Er0)，则F=P−1B。则F为m×r列满秩矩阵，G为r×n行满秩矩阵，故结论成立。