拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是用来求条件极值的，极值问题有两类，其一，求函数在给定区间上的极值，对自变量没有其它要求，这种极值称为无条件极值。

其二，对自变量有一些附加的约束条件限制下的极值，称为条件极值。例如给定椭球：

x2a2+y2b2+z2c2=1(1)

求这个椭球的内接长方体的最大体积。这个问题实际上就是条件极值问题，即在条件：

x2a2+y2b2+z2c2=1(1)

下，求f(x,y,z)=8xyz的最大值。
当然这个问题实际可以先根据条件消去z，然后带入转化为无条件极值问题来处理。但是有时候这样做很困难，甚至是做不到的，

这时候就需要用拉格朗日乘数法了。如下描述：
　求函数z=f(x,y)在满足p(x,y)=0下的条件极值，可以转化为函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λp(x,y)的无条件极值问题。如果(x0,y0,λ0)是函数F(x,y,λ)的驻点，则(x0,y0)就是条件极值的嫌疑点。
　回到上面的题目，通过拉格朗日乘数法将问题转化为：
　

F(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λp(x,y,z)=8xyz+λ(x2a2+y2b2+z2c2−1)(2)

　对F(x,y,z,λ)求偏导，然后通过偏导求出x,y,z的关系，再与已知联立方程组，求出未知数即可。