随笔分类 - 数论
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摘要：题目：给定一个范围N，你需要处理M个某数字是否为质数的询问（每个数字均在范围1-N内）。(N<=10000000，M<=100000) 解法：1.欧拉筛O(n)，数组近乎100KB；2.（我这题copy了数据范围肯定是有原因滴......）欧拉函数判断素数O(m log n)，m 比 n 小啊，可以
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摘要：题目：给定n*n的矩阵A，求A^k。 解法：利用矩阵乘法的定义和快速幂解答。注意用负数，但是数据太弱没有卡到我......（P.S.不要在 typedef long long LL; 前使用 LL......━━(￣ー￣*|||━━） P.S.在multi函数里，若将所有相乘的和先加起来不会爆 lo
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摘要：题目：有一种图形叫做五角形圈。一个五角形圈的中心有1个由n个顶点和n条边组成的圈。在中心的这个n边圈的每一条边同时也是某一个五角形的一条边，一共有n个不同的五角形。这些五角形只在五角形圈的中心的圈上有公共的顶点。现在给定一个n五角形圈，你的任务就是求出n五角形圈的不同生成树的数目。还记得什么是图的生
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摘要：题意：从编号为 1~N 的音阶中可选任意个数组成一个音乐片段，再集合组成音乐篇章。要求一个音乐篇章中的片段不可重复，都不为空，且出现的音符的次数都是偶数个。问组成 M 个片段的音乐篇章有多少种。答案取模1000000007（质数）。 解法：先将题目模型化：N 个数组成 M 种组合，且要求组合之间互不
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摘要：中国剩余定理：定义为求解有 k 对关系：P % ai = bi，其中 ai 两两之间互质的 P 的最小正整数。 解法：1. 无论 ai 之间是否互质，这个方法都是通用的：将两两之间不互质就是把原来的关系式化为：P = bi (mod ai) → ai * x + bi = P，用拓展欧几里德求解同余
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摘要：题意：给出 A%9973 和 B，求(A/B)%9973的值。 解法：拓展欧几里德求逆元。由于同余的性质只有在 * 和 + 的情况下一直成立，我们要把 /B 转化为 *B-1，也就是求逆元。 对于 B-1，P为模数9973，那么 B*B-1=1(mod P) → 把 B-1 看成 x ，就是 Bx+
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摘要：题意：问从(0,0)到(x,y)(0≤x, y≤N)的线段没有与其他整数点相交的点数。 解法：只有 gcd(x,y)=1 时才满足条件，问 N 以前所有的合法点的和，就发现和上一题—— 【poj 2478】Farey Sequence（数论--欧拉函数 找规律求前缀和） 求 x/y，gcd(x,y)
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摘要：题意：定义 Fn 序列表示一串 <1 的分数，分数为最简分数，且分母 ≤n 。问该序列的个数。(2≤N≤10^6) 解法：先暴力找规律（代码见屏蔽处），发现 Fn 序列的个数就是 Φ(1)~Φ(n) 的和。于是用欧拉筛预处理就好了。 注意——求前缀和要用 long long 的类型。
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摘要：题意：求奇质数 P 的原根个数。若 x 是 P 的原根，那么 x^k (k=1~p-1) 模 P 为1~p-1，且互不相同。 (3≤ P<65536) 解法：有费马小定理：若 p 是质数，x^(p-1)=1 (mod p)。这和求原根有一定联系。 再顺便提一下欧拉定理：若 a,n 互质，那么 a^Φ
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摘要：题意就是求10^9以内的正整数的欧拉函数（Φ(n)表示<=n的与n互质的正整数个数）。 解法：用欧拉筛和欧拉函数的一些性质： 1.若p是质数，Φ(p)=p-1； 2.欧拉函数是积性函数，即若a,b互质，则Φ(ab)=Φ(a)*Φ(b)； 3.若a,b不互质，则Φ(ab)=Φ(a)*b。 若 n≤10
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摘要：题意：Kiki 有 X 个硬币，已知 N 组这样的信息：X%x=Ai , X/x=Mi （x未知）。问满足这些条件的最小的硬币数，也就是最小的正整数 X。 解法：转化一下题意就是 拓展欧几里德求解同余方程组了。我们可以得到 N 个方程：Mi*x+Ai=X。一些解释请看下面的代码。
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摘要：题目：求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。 解法：先同上题一样用拓展欧几里德求出同余方程组的最后一个
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摘要：题意：Elina看一本刘汝佳的书(O_O*)，里面介绍了一种奇怪的方法表示一个非负整数 m 。也就是有 k 对 ( ai , ri ) 可以这样表示——m%ai=ri。问 m 的最小值。 解法：拓展欧几里德求解同余方程组的最小非负整数解。（感觉挺不容易的......+_+@） 先看前2个关系式： m
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摘要：题意：已知2只青蛙的起始位置 a,b 和跳跃一次的距离 m,n，现在它们沿着一条长度为 l 的纬线（圈）向相同方向跳跃。问它们何时能相遇？（好有聊的青蛙 (΄◞ิ౪◟ิ‵) *）永不相遇就输出"Impossible"。（蠢得可怜 -_-!） 解法：用拓展欧几里德求同余方程的最小正整数解。(a+mx)
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摘要：题意：有一个在k位无符号整数下的模型：for (variable = A; variable != B; variable += C) statement; 问循环的次数，若“永不停息”(←_←)*，就输出"FOREVER"。 解法：用拓展欧几里德方法求出gcd最大公因数，再利用同余性质转化，求同余
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摘要：原博是这个链接： 线性筛（欧拉筛） http://www.cnblogs.com/zhuohan123/p/3233011.html 我只拷贝了我在学的内容—— 一般的筛法（PPT里叫埃拉托斯特尼筛法，名字异常高贵）的效率是O(NlglgN)（其实很接近O(n)啊！），对于一些例如N=1000000
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摘要：题意：给3个数M,A,B，求两个质数P,Q。使其满足P*Q<=M且A/B<=P/Q<=1，并使P*Q最大。输入若干行以0,0,0结尾。 解法：先线性筛出素数表，再枚举出P，二分出对应的最大的Q，得出最佳答案。 注意——1.第二个的代码是标准的欧拉筛，可求每个数的最小质因数； 2. 像第一个代码二分时
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摘要：题意：N个编号为1~N的数，选任意个数分入任意个盒子内（盒子互不相同）的不同排列组合数。 解法：综合排列组合 Stirling（斯特林）数的知识进行DP。C[i][j]表示组合，从i个数中选j个数的方案数；S[i][j]表示Stirling数,i个数分成j份的方案数；P[i]表示P(i,i)全排列。
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摘要：题意：有m个人有一张50元的纸币，n个人有一张100元的纸币。他们要在一个原始存金为0元的售票处买一张50元的票，问一共有几种方案数。 解法：（学习了他人的推导后~） 1.Catalan数的应用7的变形。（推荐阅读：http://www.cnblogs.com/chenhuan001/p/51571
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摘要：题意：给一个n个点的图和一个n个点的树，求图和树上的点一一对应的方案数。（N<=17) 解法：1.在树的结构上进行tree DP，f[i][j]表示树上点 i 对应图上点 j 时，这个点所在子树的方案数。O(n^3)。 2.我们可以发现如果按这个定义进行DP，“一 一对应”的关系挺难保证。若枚举出全
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