【bzoj 2339】[HNOI2011]卡农(数论--排列组合+逆元+递推)

题意:从编号为 1~N 的音阶中可选任意个数组成一个音乐片段,再集合组成音乐篇章。要求一个音乐篇章中的片段不可重复,都不为空,且出现的音符的次数都是偶数个。问组成 M 个片段的音乐篇章有多少种。答案取模1000000007(质数)。

解法:先将题目模型化:N 个数组成 M 种组合,且要求组合之间互不相等,把各组合用二进制表示对 N 个数的取舍状态之后的异或和为0。   虽然求得是组合,但我们转化为排列来做计算时更方便。假设 f[i] 表示从 n 个数中选 i 种排列的方案数。那么就是“总的排列数 - 第 i 个片段为空(0)- 第 i 个片段与之前的 i-1 个片段中的一个重复”,而组合数就只需再除以“ i ! ”。由于递推的思想,我们只考虑第 i 个片段,之前的状态用 f[ ] 表示。
   于是,f[i] =    P(2^n-1,i-1) (由于要求异或和为0,据前 i-1 个片段就能确定第 i 个片段的状态了)
                     -  f[i-1]  (组成 i-1 个片段的方案数) 
                     -  (i-1) * [2^n-1-(i-2)] * f[i-2] 。(乘法原理{分步},位置、唯一的重复的状态、排列数)

   另外,P(n,m)=n!/(n-m)!,所以 P(n,i)=n!/(n-i)!=n!/[n-(i-1)] * (n-(i-1))=P(n,i-1)*[n-(i-1)]。
   由于模的数是质数,可利用费马小定理求逆元。我昨天的一篇博文有提到:【poj 1284】Primitive Roots(数论--欧拉函数 求原根个数){费马小定理、欧拉定理}

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<iostream>
 6 using namespace std;
 7 #define mod 100000007
 8 #define N 1000010
 9 typedef long long LL;
10 
11 LL f[N],P[N];
12 LL qpow(LL x,int k)
13 {
14     LL ret=1;
15     while (k)
16     {
17       if (k&1) ret=(ret*x)%mod;
18       x=(x*x)%mod, k>>=1;
19     }
20     return ret;
21 }
22 LL ny(LL x) {return qpow(x,mod-2);}
23 int main()
24 {
25     int n,m; LL p,mm=1;
26     scanf("%d%d",&n,&m);
27     p=(qpow(2,n)-1+mod)%mod;
28     P[0]=1, f[0]=1;
29     P[1]=p, f[1]=0;//f[1]=0;
30     for (int i=2;i<=m;i++)
31     {
32       f[i]=((P[i-1]-f[i-1]+mod)%mod-((i-1)*(p-(i-2))%mod*f[i-2])%mod+mod)%mod;
33       P[i]=(P[i-1]*((p-i+1)+mod)%mod)%mod;
34       mm=(mm*i)%mod;
35     }
36     printf("%lld\n",(f[m]*(ny(mm)%mod))%mod);
37     return 0;
38 }

 

posted @ 2016-11-16 08:43  konjac蒟蒻  阅读(348)  评论(0编辑  收藏  举报