零钱兑换（Python and C++解法）

题目：

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

示例 1:

输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3
解释: 11 = 5 + 5 + 1
示例 2:

输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1

说明:你可以认为每种硬币的数量是无限的。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change

思路：

　　采用动态规划思路。

　　定义状态：dp[i] 表示当目标金额为 i 时， 至少需要dp[i]枚硬币。

　　状态转移：从当前目标金额中减去不同硬币的面额，当前目标金额会减少，所需硬币数量会增加。

Python解法：

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp = {}
        dp[0] = 0  # 目标金额为0时，所需硬币数量为0
        for i in range(1, amount+1):  # 初始化数组
            dp[i] = amount+1

        for i in range(1, amount+1):
            for j in range(len(coins)):  # 每拼凑成一定金额，都来自某种面值硬币
                if coins[j] <= i:  # 如果当前硬币的面额可以凑
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i-coins[j]]+1)  # 状态转移方程：dp[i] = min{dp[i-coins[j]]}+1
        # 如果dp[amount]的数值没有更新，说明不满足coins[j] <= i，凑不出结果
        if dp[amount] == amount+1: return -1
        else:   return dp[amount]

C++解法：

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
      if(amount < 0)
        return -1;
      // 定义状态：dp[i]表示当前金额为i时至少需要dp[i]个硬币
      vector<int> dp(amount+1, amount+1);  // 由于将dp[0]包含进去了，所以共有amount+1个元素，并且dp元素的最大值都不会大于amount+1
      dp[0] = 0;
      for(int i = 1; i < dp.size(); i++) {
        for(auto coin = coins.begin(); coin != coins.end(); coin++) {
          if(i - (*coin) < 0)
            continue;  // 由于coins的元素不一定是有序的，所以后面可能会出现符合要求的硬币
          dp[i] = min(dp[i], dp[i-(*coin)]+1);
        }
      }
      if(dp[amount] == amount + 1)
        return -1;
      else
        return dp[amount];
    }
};