P3089 [USACO13NOV]POGO的牛Pogo-Cow

FJ给奶牛贝西的脚安装上了弹簧，使它可以在农场里快速地跳跃，但是它还没有学会如何降低速度。

FJ觉得让贝西在一条直线的一维线路上进行练习，他在不同的目标点放置了N (1 <= N <= 1000)个目标点，目标点i在目标点x(i)，该点得分为p(i)。贝西开始时可以选择站在一个目标点上，只允许朝一个方向跳跃，从一目标点跳到另外一个目标点，每次跳跃的距离至少和上一次跳跃的距离相等，并且必须跳到一个目标点。

每跳到一个目标点，贝西可以拿到该点的得分，请计算他的最大可能得分。

输入输出格式

输入格式：

 

* Line 1: The integer N.

* Lines 2..1+N: Line i+1 contains x(i) and p(i), each an integer in the range 0..1,000,000.

 

输出格式：

 

* Line 1: The maximum number of points Bessie can receive.

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

6 
5 6 
1 1 
10 5 
7 6 
4 8 
8 10 

输出样例#1： 复制

25 

说明

There are 6 targets. The first is at position x=5 and is worth 6 points, and so on.

Bessie hops from position x=4 (8 points) to position x=5 (6 points) to position x=7 (6 points) to position x=10 (5 points).

题意：

给你n个点，先让你从这n个点中选择一个为起点，然后可以以这个点为起点然后选择一个方向（之后不能改变方向）开始蹦到下一个点，必须保证这一次蹦跳的距离要大于等于上一次的距离，把所有蹦跳经过的点的值加在一起就可以了

 

题解：

错误解析：

我先跑的以x增大为正方向

我原本想的是用一维数组dp[i]，来存前i个点的蹦跳且最后一个到达的点是第i个点所获得的最大值，但是题上说了要保证这一次蹦跳的距离要大于等于上一次的距离，所以我就用了一个数组来保存这个dp[i]是从那个点蹦过来的，但是我还没有考虑周全，看一个例子：

给出的全是点的值，他们之间距离都是相差1

原始值       //1 7 5 10 15
dp              //1 8 6 16
                  //         18

可见到dp跑到10这个位置的时候会出现两个值，一个16，蹦跳距离1；另一个18，蹦跳距离2；按我的代码我会选择18，那个存上一次蹦跳位置的数组会存放第二个点

这个时候dp到15的时候就会出错，因为从dp[4]没法向dp[5]转移，因为上一次蹦跳距离是2

这个时候结果就会出错<_>

 

正解：

dp[i][j]表示最后的那一次蹦跳是从j到i，所以我们再求dp[i][j]的最优解的时候还要枚举以j为终点的最后一蹦的另一个点是谁，三重for循环，感觉就凉凉了，所以肯定要降低复杂度

我们可以把i，和j枚举的顺序改变一下，这样可以在dp过程中就是在二维数组中一列一列地进行。这样有什么好处呢？

一列一列地进行就会有i的值一直在变大，但是j不变，意思就是蹦跳距离在越来越大（蹦跳远点不变，蹦跳终点越来越远）

这样的话我们枚举谁蹦到j是最优的时候，我们就可以倒着枚举，这样另一个点蹦跳到j的距离会越来越远，我们可以让一旦这个距离大于我们要求的

dp[i][j]的从j——>i我们就让这个循环停止，等到下一次i变大的时候，我们再让这个k接着上一次的往更大的间距枚举

 

状态转移方程：

sum=max(dp[j][k]+m[j].p,sum);

dp[i][j]=max(dp[i][j],sum);

 

代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,ans;
int f[1001][1001];
struct node {
    int x,v;
    bool operator <(const node &a)const {           
        return x<a.x;                                 //重载运算符 
    }
} a[1001];
int main() { 
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1; i<=n; i++)scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].v);
    sort(a+1,a+n+1);  
    for (int j=1; j<=n; j++) {
        int k=j-1,val=a[j].v;
        for (int i=j+1; i<=n; i++) {
            while ((k)and(a[i].x-a[j].x>=a[j].x-a[k].x))
                val=max(val,f[j][k]+a[j].v),k--;
            f[i][j]=max(f[i][j],val);
            ans=max(ans,val+a[i].v);}
    //倒过来再求一次       
    }for (int j=n; j; j--) {
        int k=j+1,val=a[j].v;
        for (int i=j-1; i; i--) {
            while ((k<=n)and(a[k].x-a[j].x<=a[j].x-a[i].x))
                val=max(val,f[j][k]+a[j].v),k++;
            f[i][j]=max(f[i][j],val);
            ans=max(ans,val+a[i].v);}
    }printf("%d\n",ans);
    return 0;
}