非公平博弈与超现实数

博弈（Game）可以表示为 \(a=\{a^L|a^R\}\)，其中 \(a^L\) 表示左方能抵达的状态，被称为左集，\(a^R\) 表示右方能抵达的状态，被称为右集。

可以定义加法。\(a+b=\{a^L+b,a+b^L|a^R+b,a+b^R\}\)，即每步要么走 \(a\)，要么走 \(b\)。

可以定义相反数。\(-a=\{-a^R|-a^L\}\)。即把左方和右方的地位互换。

自然地 \(0=\{|\}\)。

我们可以定义博弈上的比较关系。

• \(a>0\)：左方必胜
• \(a<0\)：右方必胜
• \(a=0\)：后手必胜
• \(a\parallel 0\)：先手必胜，这种状态被称为模糊的（fuzzy game），可以理解为无法比较的意思，即 \(x\parallel y\iff x\not \le y\and y\not \le x\)。

这个比较关系满足一系列实数满足的定理。

比如说 \(a-a=0\)，证明可以考虑后手一定可以通过模仿先手的行为而获胜。

用上面的定义可以定义任意两个博弈之间的比较比如 \(a>b\iff a-b>0\)。

如果对于左集中的任意元素都小于右集中的任意元素，那么可以称这个博弈 \(a=\{a^L|a^R\}\) 为超现实数（Surreal Numbers，其实翻译成超实数更好），可以证明超现实数中不会出现 $\parallel $ 的情况，即超现实数与 \(\le\) 构成一个全序关系，我们这里不会讨论超现实数。

但是我们可以证明把左集中任意 \(<0\) 的元素，以及右集中任意 \(>0\) 的元素删去不会改变结果。

可以记 \(1\) 表示左方能走一步的博弈 \(\{0|\}\)，类似的 \(2=\{1|\}\)。依此类推可以得到全体整数的意义。

你又发现 \(\{0|1\}+\{0|1\}=1\)，说明 \(\frac12=\{0|1\}\)，依此类推可以得到 \(\{0|\frac12\}=\frac14\) 等等。这样可以通过二进制拆分得到全体实数的意义。

记 \(\star=\{0|0\}\)。它满足

\[\star<a,\forall a>0\\ \star\parallel 0\\ \star>a,\forall a<0\\ \]

另外可以发现 \(\star+\star=0\)，这个结论告诉你偶数个 \(\star\) 可以抵消。

还可以证明 \(a>0\implies a+\star>0\)，同理有 \(a<0\implies a+\star<0\)。

记 \(\uparrow=\{0|\star\},\downarrow=-\uparrow=\{\star|0\}\)。它满足 \(-a<\downarrow<0<\uparrow<a,\forall a>0\)，可以看作一个无穷小量。

可以发现 \(\star+\uparrow\) 和 \(\star+\downarrow\) 都 \(\parallel 0\)，而 \(\star+2\uparrow>0,\star+2\downarrow<0\)。

另外可以发现 \(\{\uparrow|\downarrow\}=\{\uparrow|0\}=\{0|\downarrow\}=\star\)，\(\{\downarrow|\uparrow\}=0\) 等等。

这样我们就可以判断 \(a+b\star+c\uparrow\) 与 \(0\) 的关系：

• 如果 \(a\ne 0\)，那么 \(a+b\star+c\uparrow\) 的符号就是 \(a\) 的符号。
• 否则如果 \(b\) 为偶数且 \(c\ne 0\)，或者 \(b\) 为奇数且 \(|c|>1\)，那么它的符号就是 \(c\) 的符号。
• 否则如果 \(b\) 为偶数，那么后手必胜；否则先手必胜。

放几道例题

【清华集训2017】福若格斯

状态图 belike

然后就是很板的计数组合了。可以用多项式但是没必要。