浅谈排列计数 DP

标题起得跟论文似的

因为一碰到关于排列计数就捉瞎于是有了这篇总结

碰到新题会加上去，评论区也可以补充（当然不会有人看我这个蒟蒻的博客就是了。

按照 此文 的方法，大概有 4 种 DP。

	预定（绝对）	插入（相对）
按下标	从左往右逐一确定值	从左往右逐一确定当前值在前缀中的排名
按值	从小到大逐一确定位置	从小到大逐一插入排列

对于转移，有时候一个一个元素地转移，有时候只考虑关键点，其他元素用组合数的形式一起转移。往往单步转移比断点转移要轻松，因为断点转移需要记录更多的信息，但是通过这些限制可以打破转移顺序的桎梏。—— 一般而言，限制方向与 DP 转移方向一致则可以用预定法（这样可以优化掉一些东西），否则用插入法。

一个一个看。核心思想就是围绕着限制设计状态

从左往右逐一确定值

这种做法的一个弊端就是容易出现重复元素，因此采用状压 DP 的方式表示某个值是否出现过。当然也可以根据题目特殊性质只记录关键值。

例如这道题，容易发现只需要对前缀最大值断点转移，所有的位置没有任何区别。

从小到大逐一确定位置

同上，采用状压 DP 记录某个位置是否被填过，然后进一步优化状态。

从左往右逐一确定当前值在前缀中的排名

可以见 这道经典题，往往需要统计的排列性质与排列元素的具体大小无关，只与其相对大小关系有关。

练手。稍难一点的，额外讨论插入值与 \(x+0.5\) 的相对关系即可，相当于一个二维的 DP。

从小到大逐一插入排列

要求与确切的位置无关，与位置的相对关系有关。

比如这道题，题意很迷，但是观察到一次连边 \((i,i+1)\) 会产生一个贡献当且仅当 \(a_i=0\) 且 \(1\) 与 \(i\) 连通且 \(1\) 是树根。