ABC224

ABC224

A

签到

B

签到

C

有\(n\leq 300\)个点，求任选三个构成一个三角形的方案数

解：

枚举三个点，判断是否在一条线上把\(\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2},\frac{x_2-x_3}{y_2-y_3}\)判断分数交叉相乘变成判断整数

D

有\(8\)个点和\(m\)条边，其中\(7\)个点上有字符，有连边且一端为空的点之间可以移动字符，求最少几个可以把字符挪成给定的形态

解：

\(bfs\)，每次找空着的位置无脑缓过来

E

\(n*m\)的网格图，在\(x_i,y_i\)处有数字\(a_i\)，求从每个\(x_i,y_i\)处出发可以移动的最大次数，一个点仅可以移动同一行或同一列上数字比自己大的格子处。

解：

显然按权值排序，每个点从自己对应的行和列里面最大的转移，然后更新自己所在的行和列

F

给定一个字符串\(s\)，仅有数字组成。求所有在字符串的第\(1\sim n-1\)个字符后面加\(+\)号的方式构成的加法式子之和

解：

对于第\(i\)位数字

如果在他后面加\(+\)，那么它将作为个位数，有\(2^{n-1}\)种方法

如果在他后面不加\(+\)，他作为十位数，在他后面一位后加\(+\)，有\(2^{n-2}\)种方法

……

如果在后面\(i\)为才加\(+\)，有\(2^{n-i-1}\)种方法

注意总共有\(2^n\)种方法，最后一位时要把剩下的方法全加上

G

给定一个\(n\)面的筛子，一开始\(S\)面朝上

操作一：令\(S+1\)面朝上，代价为\(A\)

操作二：重新筛子一次，每一面朝上的概率相同，代价为\(B\)

求\(T\)面朝上的最小代价。

解：

可以证明\(+1\)是不会出现在重开操作之前的，只存在三种情况：

（1）当\(S\leq T\)时，无脑\(+1\)，代价是\(A(T-S)\)

（2）无脑\(roll\)，\(roall\)出\(T\)的概率是\(\frac{1}{N}\)，期望代价\(BN\)

（3）先\(roll\)点，考虑当\(roll\)到一个范围\([L,T]\)时，\(+1\)会比无脑继续\(roll\)期望代价更小

答案是三者的最小值，讨论一下最复杂的第三种情况：

对于一个点数，\(roll\)到\([L,T]\)范围内的概率是\(\frac{X}{N}(X=T-L+1)\)，期望代价\(\frac{BN}{X}\)

无脑\(+1\)的期望概率\(=\sum_{i=L}^{T}\frac{A(T-i)}{X}=\frac{A(X-1)}{2}\)

\(f(X)=\frac{BN}{X}+\frac{A(X-1)}{2}\)

根据基本不等式，\(X≈\sqrt{\frac{2BN}{A}}\)时，\(f(X)\)取最小值

在\(\sqrt{\frac{2BN}{A}}\)周围取\(10\)个数对答案取最小值

H

有一个二分图，左侧有\(L\)个节点，在每个节点上装摄像头需要花费\(a_i\)，右侧有\(R\)个节点，在每个节点上装摄像头需要花费\(b_i\)

求在左侧第\(i\)个和右侧第\(j\)上至少装了\(C_{i,j}\)个摄像头的最小代价。

关于线性规划对偶性的一份说明

根据题目，有：

\[min\{\sum_{i}A_il_i+\sum_{i}B_ir_i\}\\ 同时满足：\\ (l_i+r_j)\geq C_{i,j}\\ l_i\geq0,r_i\geq 0 \]

提出

\[(l_i+r_j)\geq C_{i,j}\\ 对两边同时乘以非负实数\\ k_{i,j}(l_i+r_j)\geq k_{i,j}C_{i,j}\\ \]

取对偶问题

\[max\{\sum k_{i,j}C_{i,j}\}\\ 同时满足：\\ \sum_{j}k_{i,j}\leq A_i\\ \sum_{j}k_{i,j}\leq B_i\\ k_{i,j}\geq 0 \]

这样就好办了，原点向左侧\(L\)个点的连流量为\(A_i\)，费用为\(0\)的边，右侧\(R\)个点向汇点连流量为\(B_i\)，费用为\(0\)的边

\(L_i\)向\(R_j\)连流量为\(inf\)，费用为\(C_{i,j}\)的边

最大费用最大流

更无脑的方法：

把价值换成限制，把限制换成价值，把不等于号开口取反，上网络流