「数学」快速幂

原理

\[a^n=\begin{matrix} \underbrace{ a*a*…*a } \\ n \end{matrix}\\ a^{13}=a^{(1101)_2}=a^8*a^4*a^1 \]

应用

矩阵快速幂和多次置换

计算斐波那契数列可以构建\(2*2\)的转移矩阵从\(F_i,F_{i+1}\)到\(F_{i+1},F_{i+2}\)的变换，将转移矩阵用快速幂优化到\(n^3logk\)

把序列置换\(k\)次，将置换快速幂自乘\(k\)次

加速线性变换

三维空间中

\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & a \\0 & 1 & 0 & b \\0 & 0 & 1 & c \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}=*\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix} \]

将\(x\)加\(a\)，\(y\)加\(b\)，\(z\)加\(c\)

\[\begin{bmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \]

\(x\)放大\(a\)倍，\(y\)放大\(b\)倍，\(z\)放大\(c\)倍

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & sin\theta & 0 \\ 0 & -sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \]

绕\(x\)轴旋转\(\theta\)度

模意义下大整数乘法

龟速乘：将乘法拆分成二进制加放放置爆long long

快速乘：

\[a*b\ mod\ m=a*b-\lfloor\frac{ab}{m}\rfloor*m \]

利用\(unsigned\ long\ long\)的自然溢出，减法前后两部分都自然溢出，差值不变

\[a*b\ mod\ m=a*b-\lfloor\frac{ab}{m}\rfloor*m=(a*b-\lfloor\frac{ab}{m}\rfloor*m)\ mod\ 2^{64} \]

对于\(\lfloor\frac{ab}{m}\rfloor\)可以用\(long\ double\)算

因为浮点数误差，运算结果应该返回\((ret+m)\ mod\ m\)

快速乘的一点转化：

当模数小于\(10^{12}\)时

\[x*y\ mod\ P\\ A=(x*(y>>25))\% P*(1<<25)\%P\\ B=(x*(y\&((1<<25)-1))\%P\\ x*y\ mod\ P=(A+B)\ mod\ P \]

利用分配律可以完全做到\(O(1)\)

光速幂

要求同一底数，同一模数，\(O(\sqrt{n})\)预处理，\(O(1)\)查询

选定一个数\(s\)，预处理出\(a^0\)到\(a^s\)和\(a^{0*s}\)到\(a^{\lceil\frac{p}{s}\rceil}\)

每次询问\(a^b\ mod\ p\)，将\(b\)拆分为\(\lfloor\frac{b}{s}\rfloor*s+b\ mod\ s\)，则\(a^b=a^{\lfloor\frac{b}{s}\rfloor*s}*a^{b\ mod\ s}\)

\(s\)选择\(\sqrt{p}\)可以做到根号平衡，选择合适大小的\(2\)的次幂可以位运算优化