随笔分类 - 算法
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摘要：【模板】2-SAT 问题 $k-SAT$问题$(k\geq 3)$是$NP$难题。 一个条件形如$x_i$为$a$或$x_j$为$b$ 如何表示一个状态必须选？ 添加条件：$x_i$为$a$或$x_i$为$a$ 则表示，$x_j$为$\sim b$时，$x_i$一定为$a$。$x_i$为$\sim
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摘要：计算几何 基础知识 点积 $a·b=a.xb.x+a.yb.y$ $a$在$b$上的投影乘以$b$的模长 叉积 $a×b=a.xb.y-a.yb.x$ $a,b$围成的平行四边形的有向面积 直线与线段 记录直线上一点和直线方向 线段记录线段端点 或记录线段起点和向量终点 判断线段相交（快速排斥实验与
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摘要：后缀数组 int x[N],y[N],c[N],sa[N],rk[N],h[N]; for(int i=1;i<=n;++i) ++c[x[i]=s[i]]; //c[i]是桶,x[i]是第i个元素的第一关键字排名 for(int i=2;i<=m;++i) c[i]+=c[i-1]; //求前缀和
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摘要：定义 序列$a$的普通生成函数$(OGF)$，定义为形式幂级数： $$ F(x)=\sum_{n}a_nx^n $$ $a$既可以是有穷序列，也可以是无穷序列，常见例子： $1.$序列$a=<1,2,3>$的$OGF$是$1+2x+3x^2$ $2.$序列$a=<1,1,1,…>$的$OGF$是$\
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摘要：多项式乘法逆 给定$F(x)$ 求$G(x)$满足 $$ G(x)F(x)\equiv 1\ (mod\ x^n)\ $$ 假设已知 $$ H(x)F(x)\equiv 1\ (mod\ x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil})\ F(x)(G(x)-H(x))\equiv 0\ (
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摘要：多项式牛顿迭代 设 $$ f(g(x))\equiv 0 (mod\ x^n) $$ 求出此模意义下的$g(x)$ 当$n=1$时，单独求出$[x^0]f(g(x))$ 假设已经得到了模$x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}$意义下的解$g_0(x)$，要求模$x^{n}$意义下的
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摘要：原理 $$ a^n=\begin{matrix} \underbrace{ aa…a } \ n \end{matrix}\ a^{13}=a^{(1101)_2}=a^8a^4*a^1 $$ 应用 矩阵快速幂和多次置换 计算斐波那契数列可以构建$2*2$的转移矩阵从$F_i,F_{i+1}$到$F
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摘要：证明方法 $1.$反证法：交换当前状态下的两个元素后，答案不会变得更优，则当前状态已经是最优解 $2.$归纳法：先证明边界$n=1$成立，再证明$F_n$成立时$F_{n+1}$成立 常见类型 交换邻项排序贪心 例题 [NOIP2012 提高组] 国王游戏 设$p_1$的参数为$a_1,b_1$，
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摘要：树的直径 定义 树上最长链（最远点对） 求解 解法一：贪心法 任取一点作为起点，找到树上距离该点最远的点，记作$st$，以$st$为起点找到树上距离$st$最远的点，记作$ed$，$st$到$ed$即为直径 优点：起点和终点方便获得 缺点：不能处理负边权 解法二：树$dp$ 任取一点作为根，记录每点
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摘要：P4198 楼房重建 维护两个信息，一个是区间最大值$mx[p]=max{\frac{h_i}{i}}$，一个是仅考虑当前区间影响的答案$ans[p]$ 合并时左区间答案可以直接合并，右区间答案需要计算左区间影响 $$ans[p]=ans[ls(p)]+calc(mid+1,r,rs(p),mx[l
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摘要：强连通 若一张有向图的节点两两相互可达，则称这张图是强连通的 强连通分量$(SCC)$：极大的强连通子图 DFS树 对一个图任取一个节点，跑$DFS$建出的树 树边：每次搜索找到一个还没有访问过的节点的时候就形成了一条树边 返祖边：也叫回边，指向祖先节点的边 横插边，在搜索时遇到了一个已经访问过的节
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摘要：定义 $\phi(n)$为小于等于$n$且和$n$互质的数的个数（包括$1$) 通项 $$\phi(n)=n*(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})……(1-\frac{1}{p_m})$$ 其中$p_1,p_2……p_m$是$n$的所有质因数$\phi(1)=1$ $
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摘要：视频链接 热身题 尝试寻找单次变化递推式，设第$i$个圆为$X^2+Y^2=R^2$，在圆$i$内随机选择一点$(x,y)$ $$E(a^2+b^2)->E((a+x)^2+(b+y)^2)$$ $$=E(a^2+b^2)+E(x^2+y^2)+2aE(x)+2bE(y)$$ $$E(x)=E(y)
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摘要：根号筛 根据素数定义，一个数是素数当且仅当它只能被$1$和它本身整除 根据定义我们可以枚举$2—n-1$中的每一个数判断是否能整除$n$ 根据什么不知名的显然定理，若$a*b=n$，且$a≤b$，那么必定有$a≤\sqrt{n},b≥\sqrt{n}$ 所以只需要枚举$2——\sqrt{n}$的数字
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摘要：定义 通路：一条从$v_i$到$v_j$的不经过重复边的一条路经，长度为通路中边的个数 回路：起点和终点相同的通路 欧拉通路：经过图$G$所有边一次的通路 欧拉回路：经过图$G$所有边一次的回路 欧拉图（$E$图）：具有欧拉回路的图 半欧拉图：具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图 平凡图：只有一个节点的
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摘要：洛谷P1044 [NOIP2003 普及组] 栈 定义 经典问题：出栈序列数 由栈性质可得，某一时刻总操作的入栈数不能少于出栈数，若将入栈视为$+1$,出栈视为$-1$，则任意时刻该序列前缀和不能小于零，且$+1$与$-1$总数相等（均为$n$个 如何求序列方案数 公式 易得，不剔除非法序列的情况下
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摘要：定义 顶点可以分成$A,B$两个集合，每条边的两个顶点分别位于$A,B$集合中的图 以该图为例，标记黄色顶点属于集合$A$，灰色顶点属于集合$B$，则所有边的两个顶点分属于$A,B$集合，该图是一张二分图 二分图中不含奇环（不含奇环的图都是二分图） 判定 黑白染色：用$DFS$对原图的顶点进行染色，
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