减半警报器

首次出现应该在 2019-2020 ICPC Asia Hong Kong Regional Contest I. Incoming Asteroids

考虑如下问题：

有 \(n\) 个位置，\(m\) 个警报器，每个警报器监测比较少的几个位置（大概是常数级别），警报器在某一时刻开启后，如果监测的几个位置发生的事件（每个事件只在比较少的几个位置发生）阈值总和大于警报器的阈值，就报警（警报器开启前发生的事件不会对警报器造成影响，每个警报器只报警一次）。
减半警报器可以做到 \(\log^2\)，zak 提出的二进制警报器可以做到单 \(\log\)。

减半警报器

把每个警报器单独拿出来看：

设现在有一个警报器报警阈值为 \(y\)，总共监测 \(k\) 个位置。根据鸽笼原理，警报器想要报警，那么他所监测的某一个位置的阈值一定大于等于 \(\left\lceil \frac{y}{k} \right\rceil\)。考虑将一个大的警报器分散成几个小的警报器监测某一个位置。注意到警报器监测的位置比较少，因此修改考虑可以暴力维护。

然后每一个位置存一个当前总共发生过的事件阈值总和 \(\texttt{tag}\)，用一个可删堆维护当前位置所有的小警报器即可。如何消除之前发生过的事件的影响：插入大警报器时差分一下即可。小警报器报警就大力重构大警报器即可。

时间复杂度：注意到每次小警报器报警一个大警报器的阈值至少会下降 \(\left\lceil \frac{y}{k} \right\rceil\)，重构次数一定小于 \(\log_{\frac{k}{k-1}} y\)，加上可删堆的一只 \(\log\) 总体复杂度一般为 \(\mathcal{O}(n \log m \log V)\)。

例题：

P7603 [THUPC 2021] 鬼街

GYM102452I. Incoming Asteroids

以上都可以利用 zak 的二进制警报器优化到单 \(\log\)。

二进制警报器

Todo.