出发点：任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数的组合来表示，其中
- 正变换：给出了原函数分解为正弦、余弦波后各频率的幅值
- 逆变换：根据各频率分配的幅值表示出原函数
\(连续\longleftrightarrow非周期\\离散\longleftrightarrow周期\)
现仅对时域/频域函数作如下表示规定：
- 时域函数用\(x\)表示，频域函数用\(X\)表示
- 若上方带有\(\tilde{\quad}\)则代表该时域/频域函数是周期函数，否则为非周期函数
- 若时域/频域函数的相关变量用\(()\)括起来则表示该函数是关于括号内变量连续的
- 若时域/频域函数的相关变量用\([]\)括起来则表示该函数是关于括号内变量离散的
比如：\(x(t)\)代表关于\(t\)的连续非周期时域函数，\(X[k]\)代表关于\(k\)的离散非周期频域函数，\(\tilde{x}[n]\)代表关于\(n\)的离散周期时域函数.
在没有声明的情况下，傅里叶变换指CTFT
离散实际上就是对连续的采样
傅里叶级数（Continuous Time Fourier Series，CTFS）
时域与频域的对应关系：时域内连续+周期\(\longleftrightarrow\)频域内非周期+离散
\[\begin{aligned}
&\begin{cases}X[k]=\frac{1}{T}\int_T\tilde{x}(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi}{T})t}dt\quad(正变换)\\
\tilde{x}(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}X[k]\cdot e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}\quad\quad(逆变换)
\end{cases}
\end{aligned}\\
其中，k\in\text{Z}，t\in\text{R}
\]
解析
先设周期函数为\(f(t)\)，表达为不同频域的波的合成即有：
\[f(t)=A_{0}+\sum_{k=1}^{+\infty}\bigl[a_{k}\cos(k\omega t)+b_{k}\sin(k\omega t)\bigr]\\
其中\omega=\frac{2\pi}{T}
\]
接下来用正交法求系数\(A_0,a_n,b_n\)：
\[\begin{aligned}
&根据三角函数的正交性有：\\
&\int_Tsin(k\omega x)dx=0\\
&\int_Tcos(k\omega x)dx=0\\
&\int_Tsin(k\omega x)\cdot cos(n\omega x)dx=0\\
&\int_Tsin(k\omega x)\cdot sin(n\omega x)dx=0\\
&\int_Tcos(k\omega x)\cdot cos(n\omega x)dx=0\\
&其中(k,n=1,2,3,\ldots;k\neq n)\\
&因此有：\\
a_k&=\frac{\int_Tf(t)\cdot cos(k\omega t)dt}{\int_Tcos(k\omega t)\cdot cos(k\omega t)dt}=\frac{2}{T}\int_Tf(t)\cdot cos(k\omega t)dt\\
b_k&=\frac{\int_Tf(t)\cdot sin(k\omega t)dt}{\int_Tsin(k\omega t)\cdot sin(k\omega t)dt}=\frac{2}{T}\int_Tf(t)\cdot sin(k\omega t)dt\\
&A_0=\frac{\int_Tf(t)dt}{\int_T1dt}=\frac{1}{T}\int_Tf(t)dt=\frac{a_0}{2}\\
\end{aligned}
\]
表达为指数形式：
\[\begin{aligned}
令c_0=a_0，c_k&=\sqrt{a_k^2+b_k^2}，\theta_k满足cos\theta_k=\frac{a_k}{c_k},sin\theta_k=-\frac{b_k}{c_k}，则\\
f(t)&=A_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}\bigl[a_{k}\cos(k\omega t)+b_{k}\sin(k\omega t)\bigr]\\
&=\frac{c_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}\cos(k\omega t+\theta_{k})\\
&=\frac{c_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{c_k}{2}[e^{-j(k\omega t+\theta_k)}+e^{j(k\omega t+\theta_k)}]\\
&注意到，\theta_{-k}=-\theta_k，即有\\
f(t)&=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{c_k}2e^{j(k\omega t+\theta_k)}\\
&=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{c_k}2e^{j\theta_k}\cdot e^{jk\omega t}
\end{aligned}
\]
至此\(f(x)\)已清晰地用指数形式表达为不同频率的波的合成
其中\(e^{jk\omega t}\)代表不同频率的波，\(\frac{c_k}2e^{j\theta_k}\)代表各频率的波的权重及相位
对于\(k\in\text{Z},t\in\text{R}\)
令\(X[k]=\frac{c_k}2e^{j\theta_k}\)，\(\tilde{x}(t)=f(t)\)
其中\(X[k]\)是非周期离散函数，\(\tilde{x}(t)\)是连续周期函数，则有：
\[\begin{aligned}
\tilde{x}(t)&=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}X[k]\cdot e^{jk\omega t}\\
X[k]&=\frac{c_k}{2}e^{j\theta_k}\\
&=\frac{c_k}{2}(cos\theta_k+jsin\theta_k)\\
&=\frac{c_k}{2}(\frac{a_k}{c_k}-j\frac{b_k}{c_k})\\
&=\frac{1}{T}\int_T\tilde{x}(t)\cdot\left(cos(k\omega t)-jsin(k\omega t)\right)dt\\
&=\frac{1}{T}\int_T\tilde{x}(t)e^{-jk\omega t}dt
\end{aligned}
\]
时域与频域的对应关系：时域内连续+非周期\(\longleftrightarrow\)频域内非周期+连续
\[\begin{aligned}
&\begin{cases}X(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt\quad\quad(正变换)\\
x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega\quad(逆变换)\end{cases}
\end{aligned}\\
其中，t,\omega\in\text{R}
\]
解析
在CTFS的基础上，进一步考虑非周期时域.
令\(X_s[k],\tilde{x}_s(t)\)分别为CTFS中的频域与时域函数，且\(\omega_k=k\frac{2\pi}{T}\)，则：
\[\begin{aligned}
X_s[k]&=\frac{1}{T}\int_T\tilde{x}_s(t)\cdot e^{-j\omega_kt}dt\\
&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\tilde{x}_s(t)\cdot e^{-j\omega_kt}dt\\
\tilde{x}_s(t)&=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}X_s[k]\cdot e^{j\omega_kt}\\
\end{aligned}
\]
对于\(k\in\text{Z},t\in[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]\)
令\(X(j\omega_k)=TX_s[k]\)，\(x(t)=\tilde{x}_s(t)\)
其中\(X(j\omega_k)\)是连续非周期函数，\(x(t)\)也是连续非周期函数，则有：
\[\begin{aligned}
X(j\omega_k)&=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\tilde{x}_s(t)\cdot e^{-j\omega_kt}dt\\
&=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\cdot e^{-j\omega_kt}dt\\
x(t)&=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}X_s[k]e^{j\omega_kt}\\
&=\frac1T\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}X(j\omega_k)e^{j\omega_kt}
\end{aligned}
\]
当\(T\to+\infty\)时，有：
\[\begin{aligned}
X(j\omega_k)&=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\cdot e^{-j\omega_kt}dt\\
&\overset{T\to\infty}=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot e^{-j\omega_kt}dt
\end{aligned}
\]
其中\(\omega_k\)随着\(T\to+\infty\)由离散量变成连续量，即对\(\omega\in\text{R}\)，等价有：
\[X(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot e^{-j\omega t}dt
\]
令\(\Delta\omega=\frac{2\pi}{T}\)，则有：
\[\begin{aligned}
x(t)&=\frac1T\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}X(j\omega_k)e^{j\omega_kt}\\
&=\frac{1}{2\pi}\Delta\omega\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}X(jk\Delta\omega)e^{jk\Delta\omega t}\\
&=\frac{1}{2\pi}\lim_{n\to+\infty}\sum\limits_{k=-\left\lfloor\frac{n}{\Delta\omega}\right\rfloor}^{\left\lceil\frac{n}{\Delta\omega}\right\rceil}X(jk\Delta\omega)e^{jk\Delta\omega t}\cdot\Delta\omega\\
\end{aligned}
\]
当\(T\to+\infty\)时，\(\Delta\omega\to0\)，对于\(\omega\in\text{R}\)有：
\[\begin{aligned}
x(t)&=\frac{1}{2\pi}\lim_{n\to+\infty}\sum\limits_{k=-\left\lfloor\frac{n}{\Delta\omega}\right\rfloor}^{\left\lceil\frac{n}{\Delta\omega}\right\rceil}X(jk\Delta\omega)e^{jk\Delta\omega t}\cdot\Delta\omega\\
&\overset{\Delta\omega\to0}=\frac{1}{2\pi}\lim_{n\to+\infty}\int_{-n}^{+n}X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega
\end{aligned}
\]
离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series，DFS）
时域与频域的对应关系：时域内离散+周期\(\longleftrightarrow\)频域内周期+离散
\[\begin{aligned}
&\begin{cases}
\tilde{X}[k]=\sum\limits_{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}\quad\;\;(正变换)\\
\tilde{x}[n]=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}\tilde{X}[k]e^{jk\frac{2\pi}{N}n}\quad(逆变换)
\end{cases}\\
&\text{其中}，n,k\in\text{Z}，N是采样次数
\end{aligned}
\]
解析
令\(X_c[k],\tilde{x}_c(t)\)分别为CTFS中的频域与时域函数，且令\(\omega_c=\frac{2\pi}{T}\)，则：
\[\begin{aligned}
X_c[k]&=\frac{1}{T}\int_T\tilde{x}_c(t)\cdot e^{-jk\omega_ct}dt\\
\tilde{x}_c(t)&=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}X_c[k]\cdot e^{jk\omega_ct}\\
\end{aligned}
\]
假设采样间隔是\(\Delta t\)，采样了\(N\)次，则有\(T=N\Delta t\)
再令\(\omega=\omega_c\Delta t\)，则有：
\[\begin{aligned}
\tilde{x}_c(n\Delta t)&=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}X_c[k]\cdot e^{jk\omega_cn\Delta t}\\
&=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}X_c[k]\cdot e^{jk\omega n}
\end{aligned}
\]
启发性思考：
进行采样时，\(X_c(k)\)中的\(t\)只能代表离散的时间点，即离散化后，原来的\(\int\left(x_t\cdot e^{-jk\omega_ct}\right)dt\)形式只可能变为\(\sum\left(x_n\cdot e^{-jk\omega_c n\Delta t}\right)\)的形式，即\(\sum\left(x_n\cdot e^{-jk\omega n}\right)\)形式，而该形式中\(k\omega n=k\frac{2\pi}{N}n\)，其中\(n,N\)都是整数，即对\(k\)存在长度为\(N\)的周期
考虑到直接离散化可能会有误差，现在假设\(\tilde{X}_c(k)\)为\(X_c(k)\)离散后的一种结果，且具有周期\(N\)，但具体形式未知，即有：
\[\begin{aligned}
\tilde{X}_c(k)&=X_c(k),\quad k,r\in\text{Z}\\
\tilde{X}_c(k)&=\tilde{X}_c(k+rN)
\end{aligned}
\]
而\(e^{jk\omega n}\)同样对\(k\)存在长度为\(N\)的周期，故有：
\[\begin{aligned}
x_c(n\Delta t)&=\sum\limits_{k=0}^{N-1}\left(\sum\limits_{r=-\infty}^{+\infty} \tilde{X}_c(k+rN)\cdot e^{jk\omega n}\right)\\
&=\sum\limits_{k=0}^{N-1}\left(\lim\limits_{r\to+\infty} r\tilde{X}_c(k)\right)\cdot e^{jk\omega n}
\end{aligned}
\]
令\(\tilde{X}[k]=\lim\limits_{r\to+\infty} r\tilde{X}_c(k)\)，\(\tilde{x}[n]=x_c(n\Delta t)\)，则\(\tilde{X}[k]\)同样对\(k\)有周期\(N\)，并且有：
\[\begin{aligned}
\tilde{x}[n]=\sum\limits_{k=0}^{N-1}\tilde{X}[k]\cdot e^{jk\omega n}
\end{aligned}
\]
接下来用正交法求出\(\tilde{X}[k]\)：
\[对于\sum\limits_{n=0}^{N-1}e^{jk\omega n}和e^{-jk'\omega n}，有正交性：\\
\begin{aligned}
\sum\limits_{n=0}^{N-1}e^{jk\omega n}\cdot e^{-jk'\omega n}&=\sum\limits_{n=0}^{N-1}e^{j(k-k')\omega n}\\
&=\frac{1\cdot(1-e^{j(k-k')\omega n\cdot N})}{1-e^{j(k-k')\omega}}\\
&=\frac{1-e^{j(k-k')\frac{2\pi}{N} n\cdot N}}{1-e^{j(k-k')\omega}}\\
&=0\\
\end{aligned}\\
其中(k,k'=0,2,3,\ldots N-1;k\neq k')\\
\begin{aligned}
因此有：\tilde{X}[k']&=\frac{\sum\limits_{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]\cdot e^{-jk'\omega n}}{\sum\limits_{n=0}^{N-1}e^{jk'\omega n}\cdot e^{-jk'\omega n}}\\
&=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]\cdot e^{-jk'\omega n}
\end{aligned}
\]
至此，可以说明\(X_c(k)\)确实能进行离散化为具有周期\(N\)的形式
进一步，实际上为了扩大\(\tilde{X}[k]\)的值，常常把\(\frac{1}{N}\)放在\(\tilde{x}[n]\)中，这种转换是等价的：
\[令\tilde{X}'[k]=N\tilde{X}[k]，\tilde{x}'[n]=\tilde{x}[n]，则有\\
\begin{aligned}
\tilde{X}'[k]&=N\cdot\frac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]\cdot e^{-jk\omega n}\\
&=\sum\limits_{n=0}^{N-1}\tilde{x}'[n]\cdot e^{-jk\omega n}\\
\tilde{x}'[n]&=\sum\limits_{k=0}^{N-1}\tilde{X}[k]\cdot e^{jk\omega n}\\
&=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}\tilde{X}'[k]\cdot e^{jk\omega n}
\end{aligned}
\]
即通过\(\tilde{x}'[n]\)得到的值与\(\tilde{x}[n]\)得到的是相同的，但原来\(\tilde{X}[k]\)的值扩大了\(N\)倍
时域与频域的对应关系：时域内离散+非周期\(\longleftrightarrow\)频域内周期+连续
\[\begin{cases}
\tilde{X}(j\omega)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}\quad\quad(正变换)\\
x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\tilde{X}(j\omega)e^{j\omega n}d\omega\quad(逆变换)
\end{cases}\\
\text{其中}(n\in \text{Z},k\in\text{R})
\]
解析
在DFS的基础上，进一步考虑非周期时域.
令\(\tilde{X}_s[k]\)为DFS中的频域函数，且\(\omega_k=k\frac{2\pi}{N}\)，则由周期性有：
\[\begin{aligned}
\tilde{X}_s[k]&=\sum\limits_{n=0}^{N-1}\tilde{x}_s[n]e^{-j\omega_kn}\\
&=\sum\limits_{n=-\left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor}^{\left\lfloor\frac{N-1}{2}\right\rfloor}\tilde{x}_s[n]e^{-j\omega_kn}
\end{aligned}
\]
令\(\tilde{x}_s[n]\)为DFS中的时域函数，且\(\Delta\omega=\frac{2\pi}{N}\)，则有：
\[\begin{aligned}
\tilde{x}_s[n]&=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}\tilde{X}_s[k]e^{j\omega_kn}\\
&=\frac{1}{2\pi}\Delta\omega\sum\limits_{k=0}^{\frac{2\pi}{\Delta\omega}-1}\tilde{X}_s[k]e^{jk\Delta\omega n}
\end{aligned}
\]
对于\(k,n\in\text{Z}\)，令\(X(j\omega_k)=\tilde{X}_s[k]\)，\(\tilde{x}[n]=\tilde{x}_s[n]\)，其中\(X(j\omega_k)\)是连续函数，\(\tilde{x}[n]\)是离散周期函数
则当\(N\to+\infty\)时，亦即\(\Delta\omega\to0^+\)，有：
\[\begin{aligned}
X(j\omega_k)&=\sum\limits_{n=-\left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor}^{\left\lfloor\frac{N-1}{2}\right\rfloor}\tilde{x}[n]e^{-j\omega_kn}\\
&\overset{N\to+\infty}=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{x}[n]e^{-j\omega_kn}\\
\tilde{x}[n]&=\frac{1}{2\pi}\Delta\omega\sum\limits_{k=0}^{\frac{2\pi}{\Delta\omega}-1}X(j\omega_k)e^{jk\Delta\omega n}\\
&=\frac{1}{2\pi}\Delta\omega\sum\limits_{k=0}^{\frac{2\pi}{\Delta\omega}-1}X(jk\Delta\omega)e^{jk\Delta\omega n}\\
&\overset{\Delta\omega\to0^+}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}X(j\omega)e^{j\omega n}d\omega
\end{aligned}
\]
其中的\(\omega_k\)随着\(T\to+\infty\)由离散量变为连续量
因此\(X(j\omega_k)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{x}[n]e^{-j\omega_kn}\)等价表示为\(X(j\omega)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{x}[n]e^{-j\omega n}\)
需要注意的是，DFS和DFT的结果是相似的，即它们在频域内都是离散且周期的
但是DFS只能处理周期函数，而DFT能处理周期和非周期函数，它们的物理意义不同
即对于处理周期函数，DFS可以看做是DFT的特例
实际上可以认为，将长度为N的有限长序列做周期为N的周期延拓后，再进行DFS运算，就是对原有限长序列进行DFT运算
由于实际上是周期延拓+DFS+主值截取，所以函数的定义域只有最后截取的有限区域，因此将不作为周期函数
时域与频域的对应关系：时域内离散+周期\(\longleftrightarrow\)频域内周期+离散
\[\begin{cases}
X[k]=\sum\limits_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}\;\;\quad(正变换)\\
x[n]=\frac1N\sum\limits_{k=0}^{N-1}X[k]e^{jk\frac{2\pi}{N}n}\quad(逆变换)
\end{cases}\\
其中，n,k\in\{0,1,\cdots,N-1\}
\]
具体的解析与DFS相同，只不过会多出一开始的周期延拓和最后的主值截取操作.
快速傅里叶变换算法
小波分析
参考博文:
傅里叶变换学习心得
傅里叶系列（一）傅里叶级数的推导
深入理解离散傅里叶变换(DFT)
傅里叶变化基础：CTFS, CTFT, DFT, DTFT
数字信号处理基础----离散傅里叶变换
定性聊聊DFT、DFS和DTFT之间的关系
DFS、DFT、DTFT的简单区分
傅里叶：5. 离散时间傅里叶级数DFS
【信号与系统】3. 阶跃函数、冲激函数
离散傅里叶变换(DFT)及快速傅里叶变换(FFT)
傅里叶变换（三） 采样与离散序列
浙公网安备 33010602011771号