哈夫曼编码，编码过程：

编码过程：哈夫曼编码是一种变长编码方法，用于数据压缩等场景，具体步骤如下：

首先，将字符出现的概率当作权值，构建哈夫曼树。这一步是基础，通过不断选取权值最小的两个节点合并，逐步生成树结构。
接着，按照 “左 0 右 1” 的规则给哈夫曼树的每条边标注。
然后，从根节点出发，到每个叶节点的 0 和 1 的组合，就成为该叶节点对应字符的编码。
最终，通过这样的方式得到各个字符的哈夫曼编码，能让出现概率高的字符获得较短编码，概率低的字符获得较长编码，从而实现数据压缩等目的。

题目一： 字母表 {a, b, c, d, e} 的频率分别为 10%，15%，30%，16%，29%。若使用哈夫曼编码方式对字母进行不定长的二进制编码，给出a、b、c、d、e分别对应的一组哈夫曼编码
题目二： 字符 {a, b, c, d, e, f} 的频率分别为 5%, 9%, 12%, 13%, 16%, 45%。请问 a、b、c、d、e、f 分别对应的一组哈夫曼编码

下面给出两道题的 完整哈夫曼编码过程、一步步合并（带图）以及最终编码和平均码长计算。注意：哈夫曼编码在合并权值相同时并非唯一——我给出的是一种常见且清晰的构造（把合并时的左子记为 0、右子记为 1），你也可以通过其他等价的 tie-breaking 得到不同但等价的编码。

题目一

字母表 {a,b,c,d,e} 的频率分别为 a:10%, b:15%, c:30%, d:16%, e:29%。
目标：构造哈夫曼树并给出每个字母的二进制编码。

合并步骤（按权值从小到大合并两个最小）

初始节点（按频率从小到大列出）：
a(10), b(15), d(16), e(29), c(30)

1. 合并 a(10) 和 b(15) → 新节点 ab(25)。（我们把 a 放左子记 0，b 放右子记 1）
2. 此时节点：d(16), ab(25), e(29), c(30)。合并最小的 d(16) 与 ab(25) → 新节点 d-ab(41)。（d 左 0，ab 右 1）
3. 节点变为：e(29), c(30), d-ab(41)。合并 e(29) 与 c(30) → 新节点 e-c(59)。（e 左 0，c 右 1）
4. 最后合并 d-ab(41) 与 e-c(59) → 根节点 100。

对应的哈夫曼树（ASCII 示意）

              (100)
             /     \
         (41)       (59)
         /  \      /   \
      d(16) (25) e(29) c(30)
            / \
         a(10) b(15)

（每条左边分支记 0，右边分支记 1）

从根到叶得到编码

• d：根 → 左 (41) → 左 (d) ⇒ 00
• a：根 → 左 (41) → 右 (25) → 左 (a) ⇒ 010
• b：根 → 左 (41) → 右 (25) → 右 (b) ⇒ 011
• e：根 → 右 (59) → 左 (e) ⇒ 10
• c：根 → 右 (59) → 右 (c) ⇒ 11

字符	频率	编码
a	10%	010
b	15%	011
c	30%	11
d	16%	00
e	29%	10

平均码长计算（逐项算，确保精确）

平均码长 \(L=\sum p_i \times \ell_i\)：

• \(a\): \(0.10\times 3 = 0.30\)
• \(b\): \(0.15\times 3 = 0.45\)
• \(c\): \(0.30\times 2 = 0.60\)
• \(d\): \(0.16\times 2 = 0.32\)
• \(e\): \(0.29\times 2 = 0.58\)

合计 \(L = 0.30+0.45+0.60+0.32+0.58 = 2.25\)（比固定等长编码更短，说明压缩效果）

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题目二

字符 {a,b,c,d,e,f} 的频率分别为 a:5%, b:9%, c:12%, d:13%, e:16%, f:45%。
目标：给出一组哈夫曼编码并详细分析合并过程。

合并步骤

初始按频率从小到大： a(5), b(9), c(12), d(13), e(16), f(45)

1. 合并 a(5) 与 b(9) → ab(14)。（a 左 0，b 右 1）
2. 节点变为：ab(14), c(12), d(13), e(16), f(45)。合并 c(12) 与 d(13) → cd(25)。（c 左 0，d 右 1）
3. 节点：ab(14), cd(25), e(16), f(45)。合并 ab(14) 与 e(16) → abe(30)。（ab 左 0，e 右 1）
4. 节点：cd(25), abe(30), f(45)。合并 cd(25) 与 abe(30) → cd-abe(55)。（cd 左 0，abe 右 1）
5. 最后合并 cd-abe(55) 与 f(45) → 根 100。

哈夫曼树（示意）

                 (100)
                /     \
           (55)         f(45)
           /  \
        (25)  (30)
        / \   /  \
     c(12)d(13) (14) e(16)
                / \
             a(5) b(9)

从根到叶得到编码

• f：直接右子 ⇒ 1 （频率最大，码最短）

• 在左子子树（以 0 开头）：

  • c：0 0 0 ⇒ 000
  • d：0 0 1 ⇒ 001
  • e：0 1 1 ⇒ 011
  • a：0 1 0 0 ⇒ 0100
  • b：0 1 0 1 ⇒ 0101

字符	频率	编码
a	5%	0100
b	9%	0101
c	12%	000
d	13%	001
e	16%	011
f	45%	1

平均码长计算

逐项计算（以小数表示概率）：

• \(a\): \(0.05\times 4 = 0.20\)
• \(b\): \(0.09\times 4 = 0.36\)
• \(c\): \(0.12\times 3 = 0.36\)
• \(d\): \(0.13\times 3 = 0.39\)
• \(e\): \(0.16\times 3 = 0.48\)
• \(f\): \(0.45\times 1 = 0.45\)

合计 \(L = 0.20+0.36+0.36+0.39+0.48+0.45 = 2.24\)（平均码长 2.24 bit）

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额外说明（常见疑问）

1. 唯一性：哈夫曼编码并不唯一。当多个节点频率相同或在排序时选择左右子顺序不同，会得到不同但等价的编码（平均码长相同）。上面两题给的是一种明确的 tie-breaking 规则（每次合并后把较小的放左或按我示例中的顺序），所以结果确定且便于说明。
2. 前缀无冲突：哈夫曼编码是前缀码（prefix-free），即任一编码都不是另一个编码的前缀，便于无歧义地解码（树的叶子均为符号，非叶子无符号）。你可以从树结构直观验证：每个符号对应树的一个叶节点。
3. 解码方法：读一串比特，从根出发按 0/1 走到叶子就得到了一个符号，然后回到根继续读后续比特。
4. 最优性：哈夫曼算法在满足符号独立、按符号概率固定且按比特长度计成本时，能得到最小平均长度的前缀码（贪心最优）。

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