德·摩根定律

这是逻辑代数中的德·摩根定律（De Morgan's Laws）之一，下面从真值表和逻辑推理两个角度讲解该等价关系：

1. 真值表法

列出\(p\)、\(q\)所有可能的取值组合（\(True\)或\(False\)），然后分别计算\(\neg (p\land q)\) 和\((\neg p)\lor (\neg q)\) 的值。

\(p\)	\(q\)	\(p\land q\)	\(\neg (p\land q)\)	\(\neg p\)	\(\neg q\)	\((\neg p)\lor (\neg q)\)
\(False\)	\(False\)	\(False\)	\(True\)	\(True\)	\(True\)	\(True\)
\(False\)	\(True\)	\(False\)	\(True\)	\(True\)	\(False\)	\(True\)
\(True\)	\(False\)	\(False\)	\(True\)	\(False\)	\(True\)	\(True\)
\(True\)	\(True\)	\(True\)	\(False\)	\(False\)	\(False\)	\(False\)

从真值表中可以看出，对于\(p\)和\(q\)所有可能的取值，\(\neg (p\land q)\) 和\((\neg p)\lor (\neg q)\) 的值都相等，所以二者逻辑等价。

2. 逻辑推理法

• 理解含义：
  • \(\neg (p\land q)\) 表示“\(p\)且\(q\)”这个命题不成立。也就是说，\(p\)和\(q\)不能同时为真。
  • \((\neg p)\lor (\neg q)\) 表示“非\(p\)”或者“非\(q\)”，即\(p\)为假或者\(q\)为假。
• 推理过程：
  • 当\(\neg (p\land q)\) 为真时，意味着\(p\)和\(q\)不同时为真，那么必然是\(p\)为假或者\(q\)为假，也就是\((\neg p)\lor (\neg q)\) 为真。
  • 当\((\neg p)\lor (\neg q)\) 为真时，即\(p\)为假或者\(q\)为假，那么\(p\)和\(q\)不可能同时为真，所以\(\neg (p\land q)\) 为真。

综上，\(\neg (p\land q)\equiv (\neg p)\lor (\neg q)\) 成立。