【极限lim】数列极限和函数极限

数列极限

定义1 \(\quad\)设\(\{a_n\}\)为数列，\(a\)为定数.若对任给的正数\(\varepsilon\)，若存在正整数\(N\)，使得当\(n>N\)时，有

\[|a_n-a|<\varepsilon, \]

则称数列\(\{a_n\}\)收敛于\(a\)，定数\(a\)称为数列\(\{a_n\}\)的极限，并记作

\[\lim_{n\to \infty} a_n = a ,或 a_n \to a(n\to \infty) \]

上述定义被称为数列极限的\(\varepsilon-N\)定义.

函数极限

一、 \(x\)趋于\(\infty\)时函数的极限

定义1 \(\quad\)设\(f\)为定义在\([a,+\infty)\)上的函数，\(A\)为定数.若对任给的\(\varepsilon>0\)，若存在正数\(M(\geq a)\)，使得当\(x>M\)时，有

\[|f(x)-A|<\varepsilon, \]

则称函数\(f\)当\(x\)趋于\(+\infty\)时以\(A\)为极限，记作

\[\lim_{n\to \infty} f(x) = A ,\quad或\quad f(x) \to A(x\to +\infty) \]

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现设\(f\)为定义在\(U(-\infty)\)或\(U(\infty)\)上的函数，当\(x\to -\infty\)或\(x\to \infty\)时，若函数值\(f(x)\)能无限地接近某定数\(A\),则称\(f\)当\(x\to -\infty\)或\(x\to \infty\)时以\(A\)为极限，这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，只需修改定义里的\(x\)的取值范围.

二、 \(x\)趋于\(x_0\)时函数的极限
设\(f\)为定义在点\(x_0\)的某个空心邻域\(U°(x_0)\)上的函数.现在讨论当\(x\)趋于\(x_0(x\neq x_0)\)时,对应的函数值能否趋于某个定数\(A\).

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这里注意.我们也经常遇到左极限和右极限.这里的字面意思很简单.譬如有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同（如分段函数），或函数在某些点仅在其一侧有定义（如在定义区间端点处），这时函数在那些点上的极限只能单侧地给出定义.

具体不再详说. 右极限和左极限统称为单侧极限.

待补充：

• 海涅定理