树的重心|例题：洛谷P1364医院设置

定义：

如果在树中删去某个结点v后，得到的图中每个连通分量的大小均不超过原树结点数的一半，就称这个结点v为整棵树的重心(centroid).

性质：

1.树中所有结点到某个结点的距离和中，到结点v的距离和最小。
2.把两棵树通过一条边相连，新的树的重心在原来两棵树重心的连线上。
3.一棵树添加或者删除一个节点，树的重心最多只移动一条边的位置。
4.一棵树最多有两个重心，且相邻。

解决方法：

找到一个点作为根时，其所有的子树中最大的子树节点数最少。跑一边dfs就行了，时间复杂度是O(n)，因为每个点都只跑了一遍。

点击查看代码

int n;
int zs[106];//zs[i]表示以i为根其向下子树节点个数 (包括根) 
int dp[106];//dp[i]表示删掉i时最大联通分量的大小 

int mn=0x7fffffff;
int ans;
void find(int u,int fa)
{
	//先看向下子树：
	zs[i]=1;//包含自己
	for(int i=head[u];i;i=s[i].next)//链式前向星 
	{
		int e=s[i].to;

		if(e!=fa)//单向边时需要写 防止成环 
		{	
			find(e,u);
			zs[u]+=zs[e];
			dp[u]=max(dp[u],zs[e]);
		}
	}
	//上面： 
	dp[u]=max(dp[u],n-zs[u]);
	//求重心： 
	if(mn>dp[u])
	{
		mn=dp[u];
		ans=u;
	}
}

例题：

洛谷P1364 医院设置

题意：
在一棵带点权的二叉树中找到树的重心并求出每个点到重心的距离*点权。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>////点权影响重心位置，要求有权重心 
using namespace std;

inline void read(register int &a)
{
	a=0;register char c;
	while((c=getchar())<48);
	do a=(a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	while((c=getchar())>47);
}

int n;//100
int v[106];//10^5
int h;//100*10^5
int l,r;//100
int zs[106];//100  zs[i]表示以i为根其向下子树节点个数 (包括根 ) 
int dp[106];//100  dp[i]表示删掉i时最大联通分量的大小 

int cnt;//99
int head[106];//99
struct node{
	int start;//100
	int to;//100
	int next;//99
}s[206];
void add(int x,int y)
{
	++cnt;
	s[cnt].start=x;
	s[cnt].to=y;
	s[cnt].next=head[x];
	head[x]=cnt;

}

int mn=0x7fffffff;//100*10^5
int ans;//100
void find(int u,int fa)
{
	for(int i=head[u];i;i=s[i].next)
	{
		int e=s[i].to;

		if(e!=fa)//单向边时需要写 防止成环 
		{
			find(e,u);
			zs[u]+=zs[e];
			dp[u]=max(dp[u],zs[e]);
		}
	}
	
	dp[u]=max(dp[u],h-zs[u]);
//	cout<<u<<":"<<dp[u]<<"!\n";//
	if(mn>dp[u])
	{
		mn=dp[u];
		ans=u;
	}
}

int jl[106];//100  每个点到重心的距离 
int q[106];//100
bool bj[106];
long long bfs(int u)
{
	long long sum=0;//5050*10^5=5*10^8
	int t=1,w=1;//100
	q[1]=u;
	bj[u]=1;
	while(t<=w)
	{
	//	cout<<q[t]<<":";//
		for(int i=head[q[t]];i;i=s[i].next)
		{
			int e=s[i].to;
			
			if(!bj[e])
			{
				bj[e]=1;
				jl[e]=jl[q[t]]+1;
				sum+=jl[e]*v[e];
			//	cout<<e<<":"<<jl[e]<<"*"<<v[e]<<"\n";// 
				q[++w]=e;				
			}
		}
		++t;
	}
	return sum;
}

int main()
{
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		read(v[i]);
		read(l);
		read(r);
		zs[i]=v[i];
		h+=v[i];
		if(l) add(i,l),add(l,i);
		if(r) add(i,r),add(r,i);
	}
	find(1,0);
	cout<<bfs(ans);
	return 0;
}
/*
50
1 2 3
4 0 0
87 4 5
21 0 0
28 6 7
68 0 0
32 8 9
17 0 0
38 10 11
43 0 0
9 12 13
48 0 0
8 14 15
85 0 0
6 16 17
30 0 0
92 18 19
37 0 0
78 20 21
33 0 0
70 22 23
85 0 0
72 24 25
31 0 0
17 26 27
33 0 0
47 28 29
25 0 0
83 30 31
28 0 0
49 32 33
15 0 0
88 34 35
29 0 0
78 36 37
98 0 0
50 38 39
89 0 0
83 40 41
3 0 0
15 42 43
15 0 0
51 44 45
3 0 0
60 46 47
1 0 0
78 48 49
66 0 0
78 50 0
71 0 0

out:14522
*/