51nod_1033_骨牌覆盖V2 状态压缩DP+矩阵快速幂优化

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求用1 * 2的骨牌覆盖n * m的矩形的方案数\(，2\leq n\leq 5,m\leq 10^9\)。

n很小，考虑状压，我们用一个集合s表示某一列中每个格子是否被覆盖，每列有n个格子，所以这样的集合有\(2^n\)种。
定义状态\(F(i,s)\)表示当第i列为s时的方案数。
对于第i列一个确定的状态s，我们可以通过将第i列填满从而到达第i+1列的某个状态。比如：

对于每个s可以用暴搜搜出来s可以转移到什么状态，以及转移到某种状态的方案数。这部分的复杂度是远低于\(O(2^{2n})\)的。

于是我们得到了一个大小为\(2^n*2^n\)的转移矩阵,第i+1列只跟第i列有关，用矩阵快速幂优化即可，复杂度\(O(4^n+2^{3n}*\log m)\)。

code

#include<stdio.h>
typedef long long LL;
const int mod=1000000007;
inline int Mod1(int x){return x>=mod?x-mod:x;}
int m,n,N,ss;
int F[32][32],Q[32][32],T[32],G[32];
void Dfs(int u,int s,int t){
    if(u==n){
        F[ss][t]++;
        return;
    }
    if(s&(1<<u)){
    	Dfs(u+1,s,t);
    	return;
    }
    t|=(1<<u); s|=(1<<u);
    Dfs(u+1,s,t);
    t^=(1<<u); s^=(1<<u);
    if(u+1<n&&((s&(1<<(u+1)))==0)){
        s|=(1<<u); s|=(1<<(u+1));
        Dfs(u+1,s,t);
        s^=(1<<u); s^=(1<<(u+1));
    }
}
void Init(){
    N=(1<<n);
    for(int s=0;s<N;++s){
        ss=s;
        Dfs(0,s,0);
    }
    T[0]=1;
    while(m){
        if(m&1){
            for(int j=0;j<N;++j){
                int x=0;
                for(int k=0;k<N;++k){
                    x=Mod1(x+(LL)T[k]*F[k][j]%mod);
                }
                G[j]=x;
            }
            for(int j=0;j<N;++j) T[j]=G[j];
        }
        m>>=1;
        for(int i=0;i<N;++i){
            for(int j=0;j<N;++j){
                int x=0;
                for(int k=0;k<N;++k){
                    x=Mod1(x+(LL)F[i][k]*F[k][j]%mod);
                }
                Q[i][j]=x;
            }
        }
        for(int i=0;i<N;++i) for(int j=0;j<N;++j) F[i][j]=Q[i][j];
    }
    printf("%d\n",T[0]);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&m,&n);
    Init();
    return 0;
}