树与二叉树
树与二叉树 完整知识点大纲
一、基本概念（选择/填空必考，基础铺垫）
1. 树的基本定义与术语
- 树、子树、空树的定义
- 节点分类：根节点、叶子节点（终端节点）、分支节点（非终端节点）
- 节点关系：双亲、孩子、兄弟、祖先、子孙
- 节点属性：度（节点的子树个数）、树的度（所有节点度的最大值）
- 层次、深度（高度）、层数、森林定义
- 树的性质（节点数、度数、层数相关公式，计算题高频）
2. 二叉树基础定义
- 二叉树概念：每个节点最多2棵子树，有左右之分，次序不能颠倒（核心区别于普通树）
- 两类特殊二叉树
- 满二叉树：每层节点数达到最大值
- 完全二叉树：除最后一层外其余层满，最后一层节点靠左排列
- 二叉树5种基本形态
3. 二叉树核心性质（计算题高频，必背）
- 第\(i\)层最大节点数
- 高度为\(h\)的二叉树最大节点数
- 任意二叉树：叶子节点数 = 度为2的节点数 + 1（超级高频公式）
- 完全二叉树性质：节点编号规律、根据总节点数判断叶子/分支节点范围、高度计算
- 完全二叉树下标与节点双亲/孩子的对应关系（顺序存储考点）
二、存储结构（选择、代码、应用题，两者均重点）
1. 顺序存储
- 适用场景：完全二叉树、满二叉树（普通二叉树空间利用率极低）
- 存储规则：按层序依次存入数组，利用下标映射父子关系
- 优缺点分析
2. 链式存储（主流，代码题核心）
- 二叉链表（最常用）：数据域 + 左孩子指针 + 右孩子指针
- 三叉链表：增加双亲指针（适合需要向上遍历的场景）
- 节点结构体定义（手写代码必考）
- 链式存储优缺点
3. 普通树、森林的存储（802常考，408低频）
- 双亲表示法
- 孩子表示法
- 孩子兄弟表示法（树转二叉树的基础，重点）
三、遍历操作（重中之重！选择+大题+代码，必考模块）
1. 二叉树遍历（核心中的核心）
（1）四大遍历方式
- 先序遍历（根 → 左 → 右）
- 中序遍历（左 → 根 → 右）
- 后序遍历（左 → 右 → 根）
- 层序遍历（按层次从上到下、从左到右）
（2）两类实现方式
- 递归实现（理解为主，代码简单）
- 非递归实现（栈模拟，408/808高频代码题、手写步骤题）
- 先/中/后序：栈的入栈、出栈规则
- 层序遍历：队列实现（必考）
（3）经典应用题（高频大题）
- 给定两种遍历序列，还原二叉树
- 先序+中序 → 唯一确定二叉树
- 后序+中序 → 唯一确定二叉树
- 先序+后序 → 无法唯一确定（考点判断）
- 根据遍历序列，求另外一种遍历结果
- 遍历过程手工模拟（画图题）
2. 树、森林的遍历
- 树的遍历：先根遍历、后根遍历
- 森林的遍历：先序遍历、中序遍历
- 映射关系：树/森林的遍历 等价于 对应二叉树的遍历（考点）
四、树、森林 与 二叉树的相互转换（画图题高频）
- 普通树 → 二叉树（孩子兄弟表示法规则，固定步骤）
- 森林 → 二叉树：每棵树转二叉树 + 根节点依次作为右孩子拼接
- 二叉树 → 普通树
- 二叉树 → 森林
- 转换规则、画图步骤、性质总结（选择常考）
五、特殊二叉树（分模块标注考频）
（一）二叉搜索树 BST（408+802 均高频，选择+大题+代码）
- 定义：左子树所有节点值 < 根节点值 < 右子树所有节点值，左右子树也满足规则
- 核心性质：二叉搜索树的中序遍历为递增有序序列（必考结论）
- 基本操作（代码/应用题重点）
- 查找节点（递归+非递归）
- 插入节点
- 删除节点（分三种情况：删叶子、删单分支节点、删双分支节点，难点）
- 查找效率分析：最好/最坏/平均时间复杂度、形态对效率的影响
（二）平衡二叉树 AVL树（408重点，重邮802仅基础概念，不考复杂旋转）
- 平衡因子定义：左子树高度 - 右子树高度，取值范围
{-1,0,1} - AVL树定义：左右子树高度差不超过1，且左右子树都是AVL树
- 四种失衡情况与旋转（408必考大题）
- LL型：右单旋转
- RR型：左单旋转
- LR型：先左后右双旋转
- RL型：先右后左双旋转
- AVL树插入节点、判断平衡、手工模拟旋转
- 查找效率分析
（三）哈夫曼树（最优二叉树）（两者必考，计算题+画图题）
- 基本概念：路径、路径长度、带权路径长度 WPL（核心）
- 哈夫曼树定义、构造规则（必考画图步骤）
- 哈夫曼树性质（必背）
- 没有度为1的节点
- 节点总数、叶子节点数、分支节点数的数量关系
- 哈夫曼编码（应用考点）
- 前缀编码定义
- 根据哈夫曼树编制编码
- 最短前缀编码原理
- WPL 计算（计算题高频）
（四）拓展结构（区分考纲）
- B树 / B+树：408 重点（查找模块联动），重邮802基本不考
- 红黑树：408仅考概念、性质，不考复杂操作；802完全不考
六、经典算法与应用（代码题综合考点）
1. 基础算法（遍历衍生，高频手写代码）
- 统计二叉树节点总数、叶子节点数、度为1/度为2的节点数
- 求二叉树的高度/深度
- 二叉树的拷贝、销毁
- 判断两棵二叉树是否相等
- 二叉树的镜像（左右子树交换）
2. 进阶应用
- 由数组/序列构建二叉树
- 寻找指定节点的双亲、孩子、层次
- 路径问题：根到指定叶子节点的所有路径（408算法题高频）
- 表达式二叉树（中缀表达式转二叉树，遍历对应表达式）
七、考点区分：重邮802 VS 408 差异化要求
✅ 两者共同核心（100%必须掌握）
- 基本概念、所有二叉树性质、计算公式
- 顺序+链式存储结构、节点定义
- 四大遍历（递归+非递归）、遍历序列还原二叉树
- 树/森林 ↔ 二叉树 相互转换
- 二叉搜索树（增删查）、哈夫曼树（构造+WPL+编码）
📌 仅408需要深入学习（802了解概念即可）
- AVL树四种旋转、失衡判断
- B树、B+树结构与基本操作
- 红黑树基本性质
- 复杂路径类算法、综合型代码题
📌 重邮802特色考点（408考得少）
- 普通树的三种存储结构（双亲/孩子/孩子兄弟）
- 广义表与树的关联（少量小题）
- 侧重基础代码、简单手工模拟，极少考复杂平衡树旋转
八、复习优先级（按出题频率排序）
- 二叉树性质 + 遍历（递归/非递归/序列还原）→ 最高优先级
- 哈夫曼树（构造、WPL、编码）
- 二叉搜索树（定义、增删查、中序有序性质）
- 树/森林与二叉树转换
- 存储结构 + 基础衍生算法（求高度、节点数、镜像等）
- AVL树（408深挖旋转，802仅概念）
- B树/B+树、红黑树（仅408）
- 树的多种存储方式（802重点）
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