P8786 [蓝桥杯 2022 省 B] 李白打酒加强版
P8786 [蓝桥杯 2022 省 B] 李白打酒加强版
题目描述
话说大诗人李白，一生好饮。幸好他从不开车。
一天，他提着酒壶，从家里出来，酒壶中有酒 \(2\) 斗。他边走边唱：
无事街上走，提壶去打酒。
逢店加一倍，遇花喝一斗。
这一路上，他一共遇到店 \(N\) 次，遇到花 \(M\) 次。已知最后一次遇到的是花，他正好把酒喝光了。
请你计算李白这一路遇到店和花的顺序，有多少种不同的可能?
注意：壶里没酒（\(0\) 斗）时遇店是合法的，加倍后还是没酒；但是没酒时遇花是不合法的。
输入格式
第一行包含两个整数 \(N\) 和 \(M\)。
输出格式
输出一个整数表示答案。由于答案可能很大，输出模 \(1000000007\)（即 \(10^9+7\)）的结果。
输入输出样例 #1
输入 #1
5 10
输出 #1
14
说明/提示
【样例说明】
如果我们用 0 代表遇到花，1 代表遇到店，\(14\) 种顺序如下:
010101101000000
010110010010000
011000110010000
100010110010000
011001000110000
100011000110000
100100010110000
010110100000100
011001001000100
100011001000100
100100011000100
011010000010100
100100100010100
101000001010100
【评测用例规模与约定】
对于 \(40 \%\) 的评测用例：\(1 \leq N, M \leq 10\)。
对于 \(100 \%\) 的评测用例：\(1 \leq N, M \leq 100\)。
蓝桥杯 2022 省赛 B 组 I 题。
解答
一、两种代码的核心定位
- 逆推 DP
从终点倒推回起点，反着走。 - 顺推 DP
从起点推到终点，正着走。
二、状态定义对比
🧠 逆推 DP
dp[i][j][k]
含义：
遇到 i 个店，j 个花，当前有 k 斗酒
总共有多少种方案能到达这个状态
方向：从结果往回走
🧠 顺推 DP
dp[i][j][w][last]
含义：
走了 i 个店，j 个花，剩 w 斗酒
last=0 最后一步是店，last=1 最后一步是花
总共有多少种方案
方向：从起点往前走
三、转移思路对比
1. 逆推 DP（倒着走）
规则反过来：
- 遇店（正）：酒 ×2
逆推：当前酒必须是偶数 → 上一步酒 = k/2 - 遇花（正）：酒 -1
逆推：上一步酒 = k+1
逆推完整代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static final int MOD = 1000000007;
static long dp[][][] = new long[110][110][110];
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt(); // 店总数
int m = sc.nextInt(); // 花总数
dp[0][0][2] = 1; // 初始：0店0花，2斗酒
// 逆推枚举所有状态
for (int i = 0; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j <= m; j++) {
for (int k = 0; k <= m - j; k++) {
// 情况1：上一步是【店】
// 正：遇店酒×2 → 逆推：当前酒必须是偶数，上一步= k/2
if (i > 0 && k % 2 == 0) {
dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k / 2];
}
// 情况2：上一步是【花】
// 正：遇花酒-1 → 逆推：上一步酒 = k+1
if (j > 0) {
dp[i][j][k] += dp[i][j-1][k+1];
dp[i][j][k] %= MOD;
}
}
}
}
// 答案：店用完，花剩最后一朵，酒=1
// 最后一步必是花，喝掉变0，完美合法
System.out.println(dp[n][m-1][1] % MOD);
}
}
2. 顺推 DP（正着走）
规则和题目完全一样：
- 遇店：酒 ×2
- 遇花：酒 -1（必须 ≥1）
必须加一维记录最后一步动作，排除非法方案。
顺推完整代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static final int MOD = 1000000007;
// dp[i][j][w][op]
// i:店数 j:花数 w:酒量 op:最后一步 0店 1花
static long[][][][] dp = new long[105][105][205][2];
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
int m = sc.nextInt();
// 初始：0店 0花 2斗酒，无前置操作，单独初始化
dp[0][0][2][0] = 1;
for (int i = 0; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j <= m; j++) {
for (int w = 0; w <= 200; w++) {
// 遍历两种结尾状态
for (int last = 0; last <= 1; last++) {
long cnt = dp[i][j][w][last];
if (cnt == 0) continue; //剪枝
// 选择1：下一步遇到店 → 酒翻倍，最后一步变店(0)
if (i < n) {
int nw = w * 2;
if (nw <= 200) {
dp[i+1][j][nw][0] = (dp[i+1][j][nw][0] + cnt) % MOD;
}
}
// 选择2：下一步遇到花，必须有酒 → 酒减1，最后一步变花(1)
if (j < m && w >= 1) {
int nw = w - 1;
dp[i][j+1][nw][1] = (dp[i][j+1][nw][1] + cnt) % MOD;
}
}
}
}
}
// 合法答案：用完所有店花、酒为0、最后一步一定是花
System.out.println(dp[n][m][0][1] % MOD);
}
}
四、答案为什么不一样？
逆推答案：dp[n][m-1][1]
- 最后一步必须是花
- 最后一步前状态：
店用完 = n
花用了 = m-1
酒 = 1 - 走最后一朵花 → 酒变 0
逆推天然无非法方案！
顺推答案：dp[n][m][0][1]
- 顺推会产生两种酒=0的方案：
- 最后一步花（合法）
- 最后一步店（非法，0×2=0）
- 必须加一维
last=1过滤非法方案
五、优缺点终极对比
| 逆推 DP | 顺推 DP | |
|---|---|---|
| 思考方向 | 从终点倒推 | 从起点正推 |
| 代码长度 | 极短 | 稍长 |
| 是否好理解 | 难（反直觉） | 易（贴合题意） |
| 非法方案 | 自动全部过滤 | 必须加一维过滤 |
| 酒量限制 | 自动约束 | 需手动设上限 |
| 考试推荐 | ⭐⭐⭐⭐⭐ 标答 | ⭐⭐⭐⭐ 正确稳妥 |
| 是否AC | ✅ 100% | ✅ 100% |
六、最简单记忆口诀
逆推
店回来酒减半，花回来酒加一
答案 dp[n][m-1][1]
顺推
遇店酒翻倍，遇花酒减一
最后一步必须是花
答案 dp[n][m][0][1]
逆推DP中赋值=与累加+=区分原因
一、前置回顾
状态定义：\(dp[i][j][k]\) 表示已经经过\(i\)家店、\(j\)朵花，当前剩余\(k\)斗酒的合法行走方案总数。
整体采用逆向动态规划思想：从终点状态反向推导初始状态，把正向操作规则反向使用。
正向规则：
- 经过店铺：酒量 \(w \Rightarrow w\times2\)
- 经过花朵：酒量 \(w \Rightarrow w-1\)（\(w\ge1\)）
逆向推导规则：
- 逆向回溯店铺：当前酒量\(k\) 一定由上一状态酒量\(\boldsymbol{k/2}\) 翻倍得到，因此\(k\)必须为偶数
- 逆向回溯花朵：当前酒量\(k\) 一定由上一状态酒量\(\boldsymbol{k+1}\) 减1得到
二、语句拆分正式释义
1. 回溯店铺逻辑
if (i > 0 && k % 2 == 0) {
dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k / 2];
}
- 判定条件
- \(i>0\)：保证存在可回溯的店铺步数
- \(k\%2==0\)：满足逆向回退店铺的酒量硬性条件，只有偶数酒量才能由翻倍操作逆向还原
- 赋值使用等号
=而非累加+=的正式原因
从逆向路径唯一性分析：一个确定的\((i,j,k)\)状态，不可能存在两种不同店铺回溯路径。
想要逆向走到「\(i\)店\(j\)花\(k\)斗酒」，若上一步是店铺，则唯一前驱状态只能是：\(i-1\)店、\(j\)花、\(k/2\)斗酒，前驱状态唯一。
该状态的方案数直接等价于唯一前驱的方案数，不存在多条店铺路径叠加的情况，因此直接赋值即可，无需累加。 - 无需取模运算原因
前驱状态\(dp[i-1][j][k/2]\)在之前的循环运算中已经完成取模约束，数值天然小于模数\(10^9+7\)，直接赋值不会出现数值溢出，无需重复取模。
2. 回溯花朵逻辑
if (j > 0) {
dp[i][j][k] += dp[i][j-1][k+1];
dp[i][j][k] %= MOD;
}
- 判定条件
\(j>0\)：保证存在可回溯的花朵步数，花朵回溯无酒量奇偶限制 - 使用累加
+=的正式原因
同一\((i,j,k)\)状态，路径来源不唯一：
该状态既可以由回溯店铺得到，也可以由回溯花朵得到。
店铺路径已经通过赋值完成基础赋值，花朵路径属于新增合法路径，必须使用累加运算合并两类不同来源的方案总数。 - 必须进行取模运算原因
累加操作会持续增大方案数值，极易超出long类型存储上限、超出题目规定模数范围，因此每一次累加后都要对结果取模，保证数据合法。
三、核心逻辑总结（正式结论）
- 逆向回溯店铺：前驱状态唯一，路径来源单一，采用直接赋值
=，无取模操作； - 逆向回溯花朵：前驱状态独立，可与店铺路径共存，路径来源多元，采用累加
+=，累加后强制取模； - 整体逻辑：先确定店铺回溯带来的基础方案数，再叠加花朵回溯带来的新增方案数，最终合并得到该状态下所有合法行走方案总数。
四、顺推与逆推写法差异补充（对照区分）
正向顺推DP中，前往店铺、前往花朵均属于向外拓展新状态，所有新状态都存在多条抵达路径，因此全部统一使用+=累加+取模；
而本题逆推DP存在路径唯一性差异，是本题专属写法特征，也是该代码精简高效的核心原因。
浙公网安备 33010602011771号