dotcpp 1258: 连续自然数和

dotcpp 1258: 连续自然数和

时间限制: 1s
内存限制: 128MB

题目描述

对一个给定的自然数M，求出所有的连续的自然数段（连续个数大于1），这些连续的自然数段中的全部数之和为M。

例子：1998+1999+2000+2001+2002 = 10000，所以从1998到2002的一个自然数段为M=10000的一个解。

输入格式

包含一个整数的单独一行给出\(M\)的值（10 <= M <= 2000000）。

输出格式

每行两个自然数，给出一个满足条件的连续自然数段中的第一个数和最后一个数，两数之间用一个空格隔开。
所有输出按照起点从小到大升序排列，题目保证输入数据至少存在一组合法解。

样例输入

10000
21334
2000000

样例输出

18 142
297 328
388 412
1998 2002
5332 5335
923 2202
2888 3512
7685 7940
15938 16062
79988 80012
399998 400002

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dotcpp 1258 连续自然数和

一、数学公式推导

设连续自然数首项为 \(a\)，项数为 \(k\)（\(k \ge 2\)），总和为 \(M\)
根据等差数列求和：

\[M = \frac{k}{2} \times [2a + (k-1)] \]

变形整理求首项：

\[2M = k(2a + k - 1) \]

\[2a = \frac{2M}{k} - k + 1 \]

\[a = \frac{\dfrac{2M}{k} - k + 1}{2} \]

二、约束条件

1. \(k\) 是 \(2M\) 的约数
2. 首项 \(a\) 必须是正整数
3. 项数 \(k \ge 2\)
4. 由 \(a>0\) 推出范围：

\[\dfrac{2M}{k}-k+1>0 \implies k^2+k < 2M \]

项数上限：\(k < \sqrt{2M}\)

三、最优枚举策略

1. 只枚举项数 k，范围：\(2 \le k \le \sqrt{2M}\)
2. 第一步判断：\(2M\) 能否整除 \(k\)，不能直接跳过
3. 能整除则代入公式算出首项 \(a\)
4. 判断 \(a\) 是否为正整数（分子必须为偶数且大于0）
5. 满足条件：末尾数 \(= a + k - 1\)，记录 (a, 末尾数)

四、输出排序规则

枚举得到的答案天然首项从小到大，直接按遍历顺序输出即可，无需额外排序。

五、复杂度分析

• 枚举范围仅到 \(\sqrt{2M}\)
• 最大数据 \(M=2\times10^6\)，\(\sqrt{4000000}=2000\)，最多只循环2000次
• 时间复杂度：\(O(\sqrt{M})\)，远超暴力枚举起点，1s极限数据轻松通过

六、易错点总结

1. 必须保证项数 \(k\ge2\)，排除单个数字
2. 区分整除条件 + 首项为整数两个判断
3. 不要枚举起点，枚举项数才是本题最优解法
4. 算出合法区间直接保存，遍历完统一输出

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代码实现

点击查看代码

import java.util.ArrayList;
import java.util.Comparator;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;

public class 连续自然数和 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int M;
        M = sc.nextInt();
        //数组属于引用类型，不能在这里提前创建数组，否则会出错
//        int[] num = new int[2];
        List<int[]> list = new ArrayList<>();
        int start = 2;
        int end = (int) Math.sqrt(2 * M);
        for (int k = start; k <= end; k++) {
            int a = -1, b = -1;
            if (2 * M % k == 0) {
                if ((2 * M / k - k + 1) % 2 == 0 && (2 * M / k - k + 1) > 0) {
                    a = (2 * M / k - k + 1) / 2;
                } else {
                    continue;
                }
            } else {
                continue;
            }
            b = a + k - 1;
            if (a > 0 && b > 0) {
                //必须在这里反复创建数组，否则会出错
                int[] num = new int[2];
                num[0] = a;
                num[1] = b;
                list.add(num);
            }
        }
//        list.sort(Comparator.comparingInt(a -> a[0]));
//        for (int[] n : list) {
//            System.out.println(n[0] + " " + n[1]);
//        }
        for (int i = list.size() - 1; i >= 0; i--) {
            System.out.println(list.get(i)[0] + " " + list.get(i)[1]);
        }
    }
}