leetcode279. 完全平方数（动态规划 完全背包 数学方法）

链接：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/

题目

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

用例

示例 1：

输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9
 
提示：

1 <= n <= 104

思路

方法1
完全背包
题目可以理解为将 1，4，9···等完全平方数作为物品放入 容量为n的背包中 其中每个物品都可以用无限次 求塞满背包时物品数量最少的情况
我做的时候先遍历物品再遍历容量
由于物品中有1的存在 ，所以任意大小背包必能被填满（全用1）
设置大小为n+1的dp数组，初始化dp[i]=i
转移方程即为 dp[j]=min(dp[j],dp[j-ii]+1) j>=ii

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        int s=sqrt(n);
        vector<int>dp(n+1);
        for(int i=0;i<n+1;++i)
        {
            dp[i]=i;
        }

        for(int i=2;i*i<=n;++i)
        {
            int p=i*i;
            for(int j=1;j<n+1;++j)
            {
                if(j>=p)
                {
                    dp[j]=min(dp[j-p]+1,dp[j]);
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

实际上也可以先遍历容量再遍历物品 取每个容量下啊的最小值

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> f(n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int minn = INT_MAX;
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
                minn = min(minn, f[i - j * j]);
            }
            f[i] = minn + 1;
        }
        return f[n];
    }
};

数学方法
四平方和问题 n = (4^a)*(8b+7)

1. 任何正整数都可以拆分成不超过4个数的平方和 ---> 答案只可能是1,2,3,4
2. 如果一个数最少可以拆成4个数的平方和，则这个数还满足 n = (4^a)*(8b+7) ---> 因此可以先看这个数是否满足上述公式，如果不满足，答案就是1,2,3了
3. 如果这个数本来就是某个数的平方，那么答案就是1，否则答案就只剩2,3了
4. 如果答案是2，即n=a^2+b2，那么我们可以枚举a，来验证，如果验证通过则答案是2
5. 只能是3

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        int x=n,y=sqrt(n);
        if(y*y==n)
            return 1;
        while(x%4==0)
            x/=4;
        if(x%8==7)
            return 4;
        for(int i=1;i<=y;++i)//判断是2还是3 判断n减去一个平方数后是否还是平方数
        {
            int j=n-i*i;
            int p=sqrt(j);
            if(p*p==j)
                return 2;
        }
        return 3;
    }
};