小凯的疑惑题解

小凯的疑惑题解

傻子都能看懂

• 因为题目说\(a, b\)都是正整数并且互素，所以易得

\[a \le 1, b \le 1, gcd(a, b) == 1 \]

所以我们设置可以被表示出来的数为\(\varphi\)

\[\varphi = ma + nb (m \ge 0 , n \ge 0) \]

我们设\(k\)为答案,因为\(k\)不能被表示出来，所以
\(k = ma + nb (m < 0 \ or \ n < 0)\)
因为\(k\)是最大的，所以\(k + a\)是一定能被表示出来的，否则答案就是\(k + a\)了
所以

\[k + a = ma + nb(m \ge 0 , n \ge 0) \]

移项得

\[k = (m - 1)a + nb(m \ge 0 , n \ge 0) \]

因为\(k\)不能被表示出来，同时\(k + a\)能被表示出来，所以\(n \ge 0\)那么\(m - 1 \le 0\)，因为\(m \ge 0\)所以\(m = 0\)
所以得到

\[k = nb - a \]

我们设\(n = a + x(x \ge -a)\)因为(\(n \ge 0\))
所以有

\[k = (a + x)b - a \]

\[k = (b - 1)a + xb \]

因为\(b - 1 \ge 0\)(\(b \ge 1\))
所以只有让\(x < 0\)才能满足\(k\)无法被表示
又因为\(k\)要最大,所以要让\(x\)减的尽量少，所以令\(x = -1\)
得到

\[k = ab -a -b \]

这个人类智慧结晶..................