斐波那契数列
数字政通第一题：员工每年共有n天休假，可以选择1天或者连续2天申请调休，问员工一共有多少种可以休假的选择方式？
题目类似于下题。
1 #include "stdafx.h" 2 #include <iostream> 3 4 template<class T> 5 bool FibArray(T a[], int n) //数组版 6 { 7 if (n < 1) 8 return false; 9 10 a[0] = 1; 11 a[1] = 1; 12 13 for (int i = 2; i < n; ++i) 14 a[i] = a[i-1] + a[i-2]; 15 16 return true; 17 } 18 19 template<class T> 20 T FibRecursion(int n) //递归版 21 { 22 if (n<0) 23 return -1; 24 25 if (n == 0 || n == 1) 26 return 1; 27 28 return FibRecursion<T>(n-1) + FibRecursion<T>(n-2); 29 } 30 31 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) 32 { 33 double a[100]; 34 FibArray<double>(a, 100); 35 int result = FibRecursion<int>(30); 36 system("pause"); 37 return 0; 38 }
参考：http://www.jb51.net/article/37286.htm
一：递归实现
使用公式f[n]=f[n-1]+f[n-2]，依次递归计算，递归结束条件是f[1]=1，f[2]=1。
二：数组实现
空间复杂度和时间复杂度都是0(n)，效率一般，比递归来得快。
三：vector<int>实现
时间复杂度是0(n)，时间复杂度是0(1)，就是不知道vector的效率高不高，当然vector有自己的属性会占用资源。
四：queue<int>实现
当然队列比数组更适合实现斐波那契数列，时间复杂度和空间复杂度和vector<int>一样，但队列太适合这里了，
f(n)=f(n-1)+f(n-2)，f(n)只和f(n-1)和f(n-2)有关，f(n)入队列后，f(n-2)就可以出队列了。
五：迭代实现
迭代实现是最高效的，时间复杂度是0(n)，空间复杂度是0(1)。
六：公式实现
百度的时候，发现原来斐波那契数列有公式的，所以可以使用公式来计算的。
由于double类型的精度还不够，所以程序算出来的结果会有误差，如果把公式展开计算，得出的结果就是正确的。
完整的实现代码如下：
1 #include "iostream" 2 #include "queue" 3 #include "cmath" 4 using namespace std; 5 int fib1(int index) //递归实现 6 { 7 if(index<1) 8 { 9 return -1; 10 } 11 if(index==1 || index==2) 12 return 1; 13 return fib1(index-1)+fib1(index-2); 14 } 15 int fib2(int index) //数组实现 16 { 17 if(index<1) 18 { 19 return -1; 20 } 21 if(index<3) 22 { 23 return 1; 24 } 25 int *a=new int[index]; 26 a[0]=a[1]=1; 27 for(int i=2;i<index;i++) 28 a[i]=a[i-1]+a[i-2]; 29 int m=a[index-1]; 30 delete a; //释放内存空间 31 return m; 32 } 33 int fib3(int index) //借用vector<int>实现 34 { 35 if(index<1) 36 { 37 return -1; 38 } 39 vector<int> a(2,1); //创建一个含有2个元素都为1的向量 40 a.reserve(3); 41 for(int i=2;i<index;i++) 42 { 43 a.insert(a.begin(),a.at(0)+a.at(1)); 44 a.pop_back(); 45 } 46 return a.at(0); 47 } 48 int fib4(int index) //队列实现 49 { 50 if(index<1) 51 { 52 return -1; 53 } 54 queue<int>q; 55 q.push(1); 56 q.push(1); 57 for(int i=2;i<index;i++) 58 { 59 q.push(q.front()+q.back()); 60 q.pop(); 61 } 62 return q.back(); 63 } 64 int fib5(int n) //迭代实现 65 { 66 int i,a=1,b=1,c=1; 67 if(n<1) 68 { 69 return -1; 70 } 71 for(i=2;i<n;i++) 72 { 73 c=a+b; //辗转相加法（类似于求最大公约数的辗转相除法） 74 a=b; 75 b=c; 76 } 77 return c; 78 } 79 int fib6(int n) 80 { 81 double gh5=sqrt((double)5); 82 return (pow((1+gh5),n)-pow((1-gh5),n))/(pow((double)2,n)*gh5); 83 } 84 int main(void) 85 { 86 printf("%d\n",fib3(6)); 87 system("pause"); 88 return 0; 89 }
七：二分矩阵方法
1 void multiply(int c[2][2],int a[2][2],int b[2][2],int mod) 2 { 3 int tmp[4]; 4 tmp[0]=a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0]; 5 tmp[1]=a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1]; 6 tmp[2]=a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0]; 7 tmp[3]=a[1][0]*b[0][1]+a[1][1]*b[1][1]; 8 c[0][0]=tmp[0]%mod; 9 c[0][1]=tmp[1]%mod; 10 c[1][0]=tmp[2]%mod; 11 c[1][1]=tmp[3]%mod; 12 }//计算矩阵乘法，c=a*b 13 int fibonacci(int n,int mod)//mod表示数字太大时需要模的数 14 { 15 if(n==0)return 0; 16 else if(n<=2)return 1;//这里表示第0项为0，第1，2项为1 17 int a[2][2]={{1,1},{1,0}}; 18 int result[2][2]={{1,0},{0,1}};//初始化为单位矩阵 19 int s; 20 n-=2; 21 while(n>0) 22 { 23 if(n%2 == 1) 24 multiply(result,result,a,mod); 25 multiply(a,a,a,mod); 26 n /= 2; 27 }//二分法求矩阵幂 28 s=(result[0][0]+result[0][1])%mod;//结果 29 return s; 30 }
附带的再贴上二分法计算a的n次方函数。
1 int pow(int a,int n) 2 { 3 int ans=1; 4 while(n) 5 { 6 if(n&1) 7 ans*=a; 8 a*=a; 9 n>>=1; 10 } 11 return ans; 12 }
