高 考 数 学 模 拟 卷

广州市114514学年各小学期中调研测试

绝密\(\bigstar\)启用前

$$数学(理科)$$

注意事项：

1. 答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

\[第I卷（选择题，共60分） \]

1. 现有一个连续的且长度为\(n\)的整数序列\(A\) (必定从1开始) : \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8，.... n\} .\)从其中取一个序列\(B\),我们将序列\(B\)称为原序列的一个"子序列",如: \({1,2,3}\).(注意: \(A\)的子序列不一定连续。如\(\{ 2,3,6 \}\)也算\(A\)的一个子序列。但是要保障序列内数字为升序)对于\(A\)序列，我们约定:对于\(A\)的任意一一个子序列\(B\), \(B\)的"极和"是其本身的最大值与最小值之和。如:\({1,2,3}\)， 其极和为\(1+3=4\).那么,对于序列\(A=\{ 1,2,3,4,5,6,7,8, .... 2019 \}\)的所有子序列的极和的算术平均数是\((\quad)\).
   \(A.2018 \quad B.2019 \quad C.2039190\quad D.1019595\quad\)

2. 已知\(z,z_1,z_2 \in \mathbb{C},a \in \mathbb{R}\),\(|z-z_1|-|z-z_2|=2a,(2a=|z_1-z_2|)\)所表示的图像在复平面内是\((\quad )\)
   
   \(A. 双曲线 \quad B. 双曲线的一支 \quad C. 椭圆 \quad D. 射线\quad\)

3. 定义：如果函数\(f(x)\)满足性质\(f(ab)=f(a)f(b),a,b \in \mathbb{Z}, 且a与b的最大公约数是1\)，我们就说\(f(x)\) 是“积性函数”， \((\quad )\)不是积性函数.
   

\[A.\quad f(x)=\left\{ \begin{aligned} & 1,x=1\\ & 0,x=0\\ \end{aligned} \right. \quad ,x\in \mathbb{Z} \quad B.\quad f_k(x),f_k(x)的值表示x与k的最大公约数, \quad x\in \mathbb{Z} ,k \geq 1 ,k \in \mathbb{Z} \quad \\ C. \quad f(x)=a^x,a>0,x\in \mathbb{Z} \quad D. \quad f(x) , x\in \mathbb{Z},f(x)的值为正整数x能表示成正整数相加之和方法的数目 \]

1. 已知函数\(f(x)=2+\log_3x,x\in [1,9]. G(x)=[f(x)]^2+f(x^2)\)的值域为\((\quad )\)
   
   \(A.[6,13]\quad B.[6,20] \quad C.[6,22] \quad D.[6,42]\)

2. 若空间中\(n\)个不同的点两两距离相等，则正整数\(n\)的取值范围是\((\quad )\)
   \(A.n\leq 3\quad B.n\leq 4 \quad C.n\leq 5 \quad D.n>5\)

3. 现在有\(114514\)枚\(1\)元硬币，要用一些袋子将之分装，使得在交易时在不拆开这些袋子的情况下也能完成对于\([1,114514]\)元的任意整数数额的交易，那么至少需要\((\quad )\)个袋子.
   
   \(A. 17 \quad B.18 \quad C19 \quad D.20\)

4. 已知一个长方体的长宽高分别是\(A,B,C\) ，其外接球的表面积是\(5 \pi\) ，表达式 $$e^{\frac{5\ln A +7\ln B+ 9\ln C}{21}}$$ 的取值不可能是\((\quad )\)
   
   \(A.\frac{\ln 810810}{114514} \quad B.\frac{5\sqrt{31}}{21} \quad C. 1 \quad D. \frac{\sqrt{6}}{2}\quad\)

5. 已知 \(P_0\)是椭圆\(C: \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} =1 ,(a>b,a^2 \in Z,b^2\in \mathbb{Z})\) 上的点，并且\(P_0(x_0,y_0)\)满足 \(4x_0+7y_0 \leq \sqrt{465}\)，双曲线\(\Gamma : \frac{x^2}{m} - \frac{y^2}{2} = 1\) 与椭圆 \(C\)的焦点是相同的，则双曲线上一点\(M\)与双曲线\(\Gamma\)上左右焦点围成的三角形的内切圆圆心到\(y\)轴的距离是\((\quad )\)
   
   \(A. 1 \quad B. \sqrt{2} \quad C.\sqrt{3} \quad D.4\)

6. 在一个光头上有一只跳蚤，光头上分布着一些区域：\(A_1,A_2,A_3,...,A_n\)总共\(n\)个区域.初始时，跳蚤在\(A_1\)区域内，接下来跳蚤会遵守一定的规则跳到下一个区域：在\(A_k(k<n)\)区域时，下一刻只能跳到\(A_i,i\in[k,n]\)区域，并且跳到每一个区域的概率是一样的.除此之外，我们还知道一些初始条件：跳蚤从\(A_1\)到\(A_2\)平均要跳\(2\)次，从\(A_1\)到\(A_3\)平均要跳\(2.5\)次（平均跳几次可以理解为每次跳的次数的数学期望）. 那么，从\(A_1\)到\(A_5\)平均要跳_________次.

7. 证明下列关于三角函数的命题：
   
   \((I) \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos\beta - \sin \alpha \sin \beta\)(本问不可使用除了定义式之外的任何三角函数公式)
   
   \((II) \sin 1^{\circ }\)是无理数.

8. 现在有三种颜色的一些棋子：红色，绿色和蓝色. 每一种颜色的棋子都可以有任意个. 我们把它们排成一排，但是满足一些要求：不能出现连续的两个红色棋子也不能出现连续的两个蓝色的棋子. 我们把 \(a_n\) 记作摆好 \(n\) 个棋子时的序列总数. 例如，\(n = 1\) 时，\(a_n=3\)，有三种满足条件的摆法，分别是只摆一个红色棋子，只摆一个绿色棋子，和只摆一个蓝色棋子.
   
   \((I)\) 求\(a_n\)的递推式. 最后的式子应该包含固定项数的递推项，并且你需要对每一个递推项的系数做出合理解释.
   
   \((II)\) 求\(a_n\)的通项公式.

9. 直椭圆柱是指上下底面都是椭圆的直柱体. 现有椭圆柱\(O_1-O_2\),已知底面椭圆的离心率是\(\frac{\sqrt{2}}{2}\),焦距是\(2\). 以\(O_1\)为原点，如图建立平面直角坐标系.
   
   \((I)\) 求椭圆的标准方程.
   
   \((II)\) 若椭圆柱\(O_1-O_2\)的高等于底面的长轴长度，\(P_1\)是\(O_1\)上的一个动点，\(P_2\)是\(P_1\)在\(O_2\)上的投影.过\(P_1P_2\)作圆柱的切面\(\alpha\),连接\(O_1P_2\)，求直线\(O_1P_2\)与 \(\alpha\)所成角的最小正弦值.
   

10. 已知函数\(f(x)=x\ln x \ln(x+1)\),
    
    \((I)\)讨论函数\(f(x)\)的单调性.
    
    \((II)\)证明：

\[\sum_{i=2}^{2019} \frac{1}{f(i)} > \frac {\ln 1010}{\ln 2 \ln 2020} \]