计算几何 _ 凸包

凸包定义

在平面上能包含所有给定点的最小凸多边形叫做凸包。

其定义为：对于给定集合X ，所有包含 X 的凸集的交集 S 被称为 X 的 凸包。

实际上可以理解为用一个橡皮筋包含住所有给定点的形态。
性质
凸包用最小的周长围住了给定的所有点。

如果一个凹多边形围住了所有的点，它的周长一定不是最小，如下图。根据三角不等式，凸多边形在周长上一定是最优的。

andrew求凸包

该算法的时间复杂度为 \(O(n \log n)\) ，其中 n为待求凸包点集的大小.
同时复杂度的瓶颈也在于对所有点坐标的双关键字排序。

首先把所有点以横坐标为第一关键字，纵坐标为第二关键字排序。

显然排序后最小的元素和最大的元素一定在凸包上。而且因为是凸多边形，我们如果从一个点出发逆时针走，轨迹总是“左拐”的，一旦出现右拐，就说明这一段不在凸包上。因此我们可以用一个单调栈来维护上下凸壳。

因为从左向右看，上下凸壳所旋转的方向不同，为了让单调栈起作用，我们首先 升序枚举 求出下凸壳，然后 降序 求出上凸壳。

求凸壳时，一旦发现即将进栈的点（P）和栈顶的两个点（S1,S2，其中 S1为栈顶）行进的方向向右旋转，即叉积小于 0，则弹出栈顶，回到上一步，继续检测，直到 叉积大于0或者栈内仅剩一个元素为止。

代码

模板题

题意：
求出凸包的周长

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pdd pair<double ,double >

using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int mod=1000000007;
int n;
pdd q[N];
bool used[N];
int stk[N];
pdd operator-(pdd a,pdd b){
  return {a.first-b.first,a.second-b.second};
}
double cross(pdd a,pdd b){
  return a.first*b.second-a.second*b.first;
}
double area(pdd a,pdd b,pdd c){
  return cross(b-a,c-a);
}
double get_dist(pdd a,pdd b){
   double dx=a.first-b.first;
   double dy=a.second-b.second;
   return sqrt(dx*dx+dy*dy);
}
double  andrew(){
  sort(q,q+n);
  int top=0;
  for(int i=0;i<n;i++){
    while(top>=2 && area(q[stk[top-1]],q[stk[top]],q[i])<=0){
       // 凸包边界上的点即使被从栈中删掉，也不能删掉used上的标记
        if(area(q[stk[top-1]],q[stk[top]],q[i])<0)
          used[stk[top--]]=false;
        else top--;
      }
    stk[++top]=i;
    used[i]=true;
  }
  used[0]=false;
  for(int i=n-1;i>=0;i--){
    if(used[i])continue;
    while(top>=2 && area(q[stk[top-1]],q[stk[top]],q[i])<=0) 
      top--;
    stk[++top]=i;
  }
  double ans=0;
  for(int i=2;i<=top;i++){
    ans+= get_dist(q[stk[i-1]],q[stk[i]]);
  }
  return ans;
}
signed main(){
  cin>>n;
  for(int i=0;i<n;i++){
    cin>>q[i].first >> q[i].second;
  }
double ans=andrew();
   printf("%.2lf\n", ans);
  
    return 0;
}

原文：cnblogs.com/beyondChan/p/11394854.html