二、数据的表示与运算

进制转换

二进制....八进制......
十六进制
一般用数字0到9和字母A到F表示，其中:A_{F相当于十进制的10}15

八进制和十六进制 主要目的： 简化二进制的书写

进制转化

二进制<->八进制
3位二进制数，对应1位八进制数

例如：
\(（1001101.01）_2 =（115.2）_{8}\)
(整数部分向前补零，小数部分向后补零)

二进制<->十六进制
4位二进制数，对应1位八进制数

例如：
\(（1001101.01）_2 =（4D.4）_{16}\)
(整数部分向前补零，小数部分向后补零)

十进制分数-> 二进制
分子分母先转化成二进制，然后分子二进制减去分母二进制即可
例：
\(\frac{19}{128}=\frac{2^4+2^1+2^0}{2^7}=2^{-3}+2^{-6}+2^{-7}=0.0010011\)

数的机器码表示

定点表示

计算机有两种表达小数的方法：

• 定点格式：小数点事先约定，位置固定
• 浮点格式：小数点按规则浮动，位置不固定

注意：两者都是隐含存储（实际存储中不存储小数点）。

定点小数

例如：（假设约定小数点位于符号位后面） +0.75D = 0.11B 存储为011 ；-0.75D = 1.11B 存储为111

表示范围：（假设约定小数点位于符号位后面）
有n位尾数的定点小数：\(-(1- 2^{−n}) ～ 1- 2^{−n}\)

定点整数

例如(未考虑位数扩展)：+3D = 011.B 存储为011 ； -3D = 111.B 存储为111

表示范围
有n位尾数的定点整数：\(-(2^n -1 ) ～ 2^n -1\)

定点数特点

1. 表示的数的范围受计算机字长的限制；
   有符号数首位用于表示符号，因此和无符号数表示的范围不同

2. 符号位被数字化 （正号：0 负号：1）

3. 小数点处于约定的位置
   定点数：小数点的位置固定不变。
   浮点数： 小数点的位置允许浮动。

机器码分类：
一、无符号数
二、有符号数
1.机器数与真值 2. 原码表示法 3. 补码表示法 4. 反码表示法 5. 移码表示

无符号数

定义：整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位，相当于数的绝对值。

表示范围：\(n\) 位的无符号数表示范围为：\(0 ～ 2^{n}-1\)

有符号数

真值和机器数

真值： 带符号的数字
机器数：符号位被数字化的数（真值在计算机中的二进制表示形式。）
例如：真值+15 对应的机器码是0 1111；真值-8 对应的机器码是1 1000

注意： 真值和机器数的区别是 符号是否被数字化。和是几进制没有关系。
一般来说0表示正数，1表示负数

由于机器只能是0/1，因此必须引入 机器数，为了解决机器数带来的复杂的运算问题，引出了：原码，补码，反码，移码。

原码表示法

（和上面用的 机器数 相同）
定义： 最高位为数的符号位，其余位为数值位；符号位用0表示正数，用1表示负数。

整数

例如：（假设字长为8位(符号位+数值位)，最高位为符号位）
X=+1001, \([X]_原\)=0，0000 1001
X=-1001, \([X]_原\)=1，0000 1001

原码整数的数据范围：有n位尾数 \(-(2^n -1)\)~$ +(2^n -1)$

小数
如果真值\(1>x≥0\)：\([x]_{原} = x\)
如果真值\(0≥x>-1\)：\([x]_{原} = 1-x\)

（本质上还是符号用0表示正数，用1表示负数）

例如：（假设约定小数点位于符号位后面，假设字长为8位(符号位+数值位)）
x=+0.1101 , \([X]_原\)=0.1101 0000
x=-0.1101 , \([X]_原\)=1-(-0.1101)=1.1101 0000

表示范围：（假设约定小数点位于符号位后面）有n位尾数的定点小数：\(-(1- 2^{−n}) ～ 1- 2^{−n}\)

特点

1. 有 正0 和 负0 之分，也就是说 \(+0 ≠-0\)

2. 优点： 简单、直观

3. 缺点： 用原码做加法时，会出现如下问题，需要根据符号位，进行分类运算。
   

反码表示法

主要作用： 快速计算补码。

定义：

• 正数：与原码相同
• 负数：符号位不变，数值位将原码的数值按位取反

取值范围：
整数：

纯小数：

特点：

1. 电路容易实现反码。

2. 反码表示有正0和负0之分
   \([+0]_反=00000000\)
   \([-0]_反=11111111\)

补码表示法

引入原因： 原码计算加法比较复杂，因此想找到一个方法，使做加法只需要做加法。

方法：
在模一个数的情况下，可以用与负数等价的正数来代替这个负数 就可使 减 -->加。

比如说：（在模数为12的情况下） -3等价于+9 记为\(-3 ≡ +9 (\mod 12)\)

经发现，在二进制下，模数就是 这个二进制数的位数取全零，然后在最高位拼接上1

例如：011 1001的模数就是1000 0000

因此

• 正数：与原码相同：(+1 0000 0000 + 0000 1110) % +1 0000 0000=+0000 1110

• 负数：符号位与原码相同，数值位由原码取反加1得到：(+ 1,00000000 - 00001110)%+ 1,00000000=+1111 0010
  

• \([y]_补 \to [-y]_补\) :连同符号位在内，每位取反，末尾加1。

数据范围：（若字长为n+1）

• 对于整数，补码的表示范围为\(−2^n ≤ x ≤ 2^{n−1}\)（比原码多表示一个数\(−2^n\)）。
  \([− 2^n]_补\) = 10,0000 − 1,0000 = 1,0000 (原码这个数指的是-0)

• 对于纯小数，补码的表示范围为\(−1≤x≤1−2^{−n}\)（比原码多表示一个数−1）
  \([−1]_补\)=10.0000−1.0000= 1.0000(原码这个数指的是-0)

特点：

1. 不区分+0和-0，都是\(0.0000..\)

2. -1.0000没有原码，只有补码1.0000

性质：
\([x-y]_补=[x]_补-[y]_补=[x]_补+[-y]_补\)

移码表示法

\([x]_移 =2^n + x(2^n ≥x≥-2^n)\)

移码通常用来表示浮点数的阶码。就是将小数部分，乘为整数。
特点：移码和补码尾数相同，符号位相反

真值、补码和移码的对照表

小结

最高位为符号位，书写上用“，”（整数）或“.”（小数）将数值部分和符号位隔开

对于正数，原码=补码=反码

对于负数，符号位为1， 其余数值部分
原码除符号位外每位取反末位加1 补码
原码除符号位外每位取反 反码

例 设机器数字长为8位（其中1位为符号位）对于整数，当其分别代表无符号数、原码、补码和反码时，对应的真值范围各为多少？

已知\([y]_补\)求 \([-y]_补\)： 连同符号位在内，每位取反，末尾加1即可。

定点运算

数据表示格式

计算机常用的数据表示格式有两种：

• 定点格式：小数点事先约定，位置固定
• 浮点格式：小数点按规则浮动，位置不固定

注意：两者都是隐含存储（实际存储中不存储小数点）。

定点数表示法

所有数据的小数点提前约定，位置固定不变(理论上位置可以任意)。

通常表示两种数据：纯小数和纯整数。

习惯表示方法： 在符号位与数值位之间，整数用,小数用.

例如：-58；数值取10位，符取1位
二进制：1 $，$111010,定点表示：1 \(，\)0000111010

例如：\(\frac{19}{128}\)；数值取10位，符取1位
二进制：\(\frac{19}{128}=\frac{2^4+2^1+2^0}{2^7}=2^{-3}+2^{-6}+2^{-7}=0.0010011\)
定点表示：1 . 0010011000

数据范围

定点机	小数定点机	整数定点机
原码	\(-(1-2^{-n}) ~⏖ +(1-2^{-n})\)	\(-(2^n − 1)~⏖ + (2^n − 1)\)
补码	\(-1~⏖+ (1-2^{-n})\)	\(−2^n~⏖ + (2^n − 1)\)
反码	\(-(1-2^{-n})~⏖+ (1-2^{-n})\)	\(-(2^n − 1)~⏖ + (2^n − 1)\)

[例6]以定点整数为例,用数轴形式说明原码、反码、补码表示范围和可能的数码组合情况。

[例7]将十进制真值(－127,－1, 0,＋1,＋127)列表表示成二进制数及原码、反码、补码、移码值。

浮点数表示法

为什么要引入浮点数表示

• 有需要调节小数点的位置的实际应用常见
• 定点数的表示范围小，为了能表示两个大小相差很大的暑假，需要很长的机器字长；
• 定点数 数据存储单元的利用率往往很低；

浮点数的表示形式

浮点数分为 阶码E和尾码M 两部分，浮点数真值\(N=r^E×M\)(r为阶码的底，通常为2)

• 阶码E 反映浮点数的表示范围及小数点的实际位置，也在一定程度上影响 精度，分为两部分：
  阶符：阶码正负性(不是浮点数的正负性)
  阶值：阶值的数值部分

• 尾码M 和阶码一起决定表示精度，也分为两部分：
  数符：浮点数的符号（正负性）
  尾数：尾数数值部分

例：阶码、尾数均用补码表示，求a、b的真值
a = 0,01;1.1001
b = 0,01;0.0100
a： 阶码0,01对应真值+1，尾数1.1001对应真值\(-0.0111 = - (2^{−2}+ 2^{−3} + 2^{−4})\)或者理解为-111右移4位：\(- \frac{7}{2^4} = - \frac{7}{16}\)
所以a = $2^1 × (−0.0111) = 2^1 × (- \frac{7}{16}) = -\frac{7}{8} $
b： 阶码0,01对应真值+1，尾数0.01001对应真值+0.01001 =+1001右移5位： \(+\frac{9}{2^5}=+\frac{9}{32}\)
所以b = \(21 × (+0.01001) = 2^1 × (+ \frac{9}{32}) = +\frac{9}{16}\)

规格化

存储上面例子中的浮点数b，显然需要9b的空间，但是
\(b = 2^1 × (+0.01001)= 2^2 × (+0.10010)\)
可以将b变成：0,10;0.1001，两个数在数值上等价，但是占用的空间更少。这个操作就称为 规格化。

规格化目的： 充分利用尾数有效位 （其他还有：保证表示唯一，提高运算精度）。

定义：规定尾数的最高数位必须是一个有效值 。

规格化的方法有两种：

• 左规：当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，
  将尾数左移一位，阶码减1（基数为2时）。

• 右规：当浮点数运算的结果尾数出现溢出（双符号位为01或10）时，
  将尾数右移一位，阶码加1（基数为2时）

右规 例：a = 010;00.1100，b = 010;00.1000，求a+b
\(a = 2^2 × 00.1100 ，b = 2^2 × 00.1000\)
\(a+b = 2^2 × 00.1100 + 2^2 × 00.1000\)
\(= 2^2 × 01.0100\)（溢出了，需要右归）
\(= 2^3 × 00.1010\)

特点：

• 规格化浮点数的尾数M的绝对值应满足：\(\frac{1}{r}≤|M|<1\)
  当r=2 时 \(\frac{1}{2}≤|S|<1\)

• 由于左归的原因是：尾数左边无效位太多，因此：左归可多位

• 由于右归的原因是：尾数运算溢出是要进行右归，因此：右归最多一位

规格化数的判断

S>0	规格化形式	S<0	规格化形式
真值	0.1xxxx	真值	-0.1xxxx
原码	0.1xxxx	原码	1.1xxxx
补码	0.1xxxx	补码	1.0xxxx
反码	0.1xxxx	反码	1.0xxxx

特征：

• 补码：符号位和第一位数不同
• 原码：符号位正常，第一位数都是1

特例
\([- \frac{1}{2}]_补\) 不是规格化的数
\([- 1]_补\) 是规格化的数

浮点数数据范围

浮点数的数据范围如图：

其中

• 上溢 就是指 需要表示的数大于最大正数或者小于最小负数，
  当出现上溢时，程序必须中断，否则就会带来错误结果。

• 下溢 就是指 需要表示的数小于零且大于最大负数 或者 大于零且小于最小正数，
  当出现下溢时，程序只要将该数认为是0即可（即 机器零），没必要终止程序。

机器零

机器零就是指 可以让机器认为该数是0 的数。
有两种情况：

• 当浮点数尾数为0时,不论其阶码为何值 都按机器零处理
• 当浮点数阶码等于或小于它所表示的最小数时,不论尾数为何值,按机器零处理

⭐IEEE754标准浮点数

IEEE754标准浮点数是一个规范的浮点数表示规则，和上面的浮点数有区别，也有联系

和之前学习浮点数的区别是：

• 数符 移动到阶码前面

• 阶码 用移码表示（没有负数），没有 阶符

• 尾数 是规格化的数，且规格化为 \(1.M\) (\(1≤ 1.M≤2\))

• 尾数 隐藏表示最高位1（尾数是规格化后的数，最高位一定是1），也就是说：M=xx…x ，表示尾数=1.xx…x

IEEE754标准分为：32位浮点数（常用）和64位浮点数

规格化的短浮点数的真值为：\((−1)^s×1.M×2^{E−127}\)
规格化长浮点数的真值为：\((−1)^s×1.M×2^{E−1023}\)

数据范围：

格式	规格化的最小绝对值	规格化的最大绝对值
单精度	E=1，M=0：\(1.0×2^{1−127}=2^{−126}\)	E=254，M=.11…1：\(1.11…1×2^{254−127}=2^{127}×(2−2^{−23})\)
双精度	E=1，M=0：\(1.0×2^{1−1023}=2^{−1022}\)	E=2046，M=.11…1：\(1.11…1×2^{2046−1023}=2^{1023}×(2−2^{−52})\)

32位浮点数的具体表示方法：

• S：符号位，1位，在最高位，“0”表示正数，“1”表示负数。

• E：阶码，8位，采用移码表示，偏移值是127。移码比较大小方便。
  即\(E=e+127\)，具体来说就是：\(阶码E=浮点数的指数真值e+127\)；然后补（省略）到8位即可。

• M：尾数， 23位，均为在低位部分，采用纯小数表示

• 基数R=2，基数固定，采用隐含方式来表示它。

IEEE754标准的一些规定：(以32位 短浮点数 为例)

• 当阶码E全为0，尾数M全为0时，表示真值±0

• 当阶码E全为0，尾数M不全为0时，表示非规格化小数\(±(0.xx…x)_2×2^{-126}\)

• 当阶码E全为1，尾数M全为0时，表示无穷大±∞

• 当阶码E全为1，尾数M不全为0时，表示非数值“NaN” (Not a Number)

例子：用 IEEE 32 位浮点格式表示如下的数：-5
符号位：S=1
-5=101
规格化：\(101=1.01×2^2\)
阶码：E=2+127=129=10000001
尾数：010000...
因此整体就是
1 10000001 010000...

浮点数的加减运算

浮点数的加减运算运算步骤
0. 转换格式：将已知真值，转化为题目要求的浮点数

1. 对阶
2. 尾数求和
3. 规格化
4. 舍入
5. 溢出判断

例： 已知十进制数X=−5/256、Y=+59/1024，按机器补码浮点运算规则计算X−Y，结果用二进制表示.
浮点数格式如下：阶符取2位，阶码取3位，数符取2位，尾数取9位

准备

按照题意将十进制数转化为浮点数。

0. 转换格式：用补码表示阶码和尾数
   \(5D = 101B，1/256 = 2^{-8}\)
   \(\to X = - 101 × 2^{-8} = - 0.101 × 2^{-5} = - 0.101 × 2^{−101}\)
   \(59D = 111011B，1/1024 = 2^{−10}\)
   \(\to Y = + 111011 × 2^{−10} = + 0.111011 × 2^{−4} = + 0.111011 × 2^{−100}\)
   X：11011,11.011000000 Y：11100,00.111011000

对阶：

对阶就是 使两个数的阶码相等。
方法是：小阶向大阶看齐，尾数毎右移一位，阶码加1。

（1）求阶差

① 求阶差：\([ΔE]_补\)=11011+00100=11111，知ΔE=−1

（2）对阶

对阶原则 小阶向大阶看齐（小阶变大，小阶尾数右移）阶差为2，小阶右移两位，阶差为1，小阶右移1位

② 对阶：X：11011,11.011000000
\(\to\) 11100,11. 101100000 (\(X = - 0.0101 × 2^{−100}\))

注意：

• 补码且负数时：尾数右移时，补1
• 补码且正数时：尾数右移时，补0

尾数求和

直接尾数求和即可。
注意：
x-y不容易计算，一般时转化成补码计算，
因为：\([x-y]_补=[x]_补-[y]_补=[x]_补+[-y]_补\) 只需要计算加法即可。

规格化

如果尾数溢出，就进行右归。

注意： 此时的溢出不一定发生浮点数溢出。

上面x-y很明显发生了溢出
\(X-Y：11100, 10.110001000 \to 11101,11.011000100\)

舍入

在右规（对阶和规格化）过程中，尾数最低位的舍弃可能会引起误差，需考虑舍入处理:

• “0”舍“1”入法：类似于十进制数运算中的“四舍五入”法，即在尾数右移时，被移去的最高数值位为0，则舍去；被移去的最高数值位为1，则在尾数的末位加1。这样做可能会使尾数又溢出，此时需再做一次右规。
• 恒置“1”法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”还是“0”，都使右移后的尾数末位恒置“1”。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能。

如果采用0舍1入法，则本次计算 无舍入

溢出判断

判断是不是常阶码，从而判断有无溢出。

常阶码，无溢出，结果真值为\(2^{−3}×(−0.1001111)_2\)

字符和字符串

现在计算机不仅处理数值领域的问题，而且处理大量非数值领域的问题。比如人机交换信息时使用英文字母，标点符号等。上述信息必须编写成二进制格式的代码。

符号数据： 字符信息用数据表示，如ASCII等。

ASCII码

ASCII码是英文中经典的字符编码方式，用来表示 数字+英文字母+符号。

表示方式：
用一个字节来表示，低7位用来编码(128个)，最高位为校验位。

其中：数字，大写字母，小写字母内部都是连续的，但是之间不连续。

• 数字：48(0011 0000)～57(0011 1001
• 大写字母：65(0100 0001)～90(0101 1010)
• 小写字母：97(0110 0001)～122(0111 1010)

汉字的表示和编码

字符串

字符串的存放，就是将字符进行按顺序存放，但是存放方法有两种：

• 大端模式：存储单元内先存储高位字节、后存储低位字节的顺序
• 小端模式：存储单元内先存储低位字节、后存储高位字节的顺序

比如：存放字符串：IF A>B_THEN_READ(C) （每行代表一个存储单元，每个存储单元存放4B）

校验码（奇偶校验码）

引入原因：信息传输和处理过程中受到干扰和故障，容易出错跳变。但是无法判断出错。
方法：1.在有效信息中加入一些冗余信息（校验位）2.使码距不为1（百度吧）

校验码： 校验位+有效信息位。
、

奇校验码：整个校验码（有效信息位和校验位）中“1”的个数为奇数。
偶校验码：整个校验码（有效信息位和校验位）中“1”的个数为偶数

特点：

• 只能检查出奇数个 位出错。
• 仅需1位检验位。（再增加也无用：再对增加校验码后的数据，嵌套校验，会发现无效（本质是码距没有改变））
• 不能纠正错误。

具体实现

设\(x＝(x_0x_1…x_{n－1})\)是一个n位数字,
则奇校验位Ｃ定义为:$C＝x_0⊕x_1⊕…⊕x_{n－1} $ ⊕代表按位加

• 当ｘ中包含有奇数个1时,使C＝1，否则C=0。
• 同理偶校验为 偶数个1时,才使C＝0，否则C=1。

其它还有Hamming, CRC等，可以实现更多功能。