随笔分类 - 数学
摘要：积性函数 概念 数论函数 定义域为正整数的函数称为数论函数。 积性函数 对于数论函数 ，若任意互质的 $p,q$ 都有 $f(pq)=f(p)f(q)$，则称 $f$ 是积性函数。 完全积性函数 对于数论函数 ，若任意 $p,q$ 都有 $f(pq)=f(p)f(q)$ ，则称 $f$是完全积性函数
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摘要：定义 SG函数是指：在有向图中，对于每个节点x，设从 $x$ 出发共有$k$条有向边（直接相连的边），分别达到节点$y_1，y_2……y_k$， 定义$SG(x)$为$x$的后继节点的$SG$值构成的集合执行$mex()$运算后的值 $mex()：$设集合S是一个非负整数集合，mex(S)就是求不属
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摘要：裴蜀定理 对于任意正整数a,b, 一定存在整数x, y,使得 $ax + by = (a, b)$ 因为$（a，b）$为常数，令$d= (a, b)$ 则$ax + by = d$ 扩展欧几里得算法就是用于求上面的x和y。 注意： x和y不唯一。 证明 因为 $$ gcd(a, b) = gcd(b
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摘要：概述 引子： 如何计算这个图形的面积？ 很显然： $$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|C\cap A|+|A\cap B\cap C|$$ 把上述问题推广到一般情况，就是我们熟知的容斥原理。 定义 集合的并 设 U 中元素有 m 种不
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摘要：高斯消元 时间复杂度：$O(n3)$ 定义： 通过初等行变换 把 增广矩阵 化为 阶梯型矩阵 并回代 得到方程的解 作用： 适用于求解 包含n 个方程，n 个未知数的多元线性方程组 过程 例如该方程组 $$\left{\begin{matrix} a_{11}*x_{1}+a_{12}*x_{2}+
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摘要：回归直线： 现有n组数据，$(x_1,y_1),(x_2,y_2).....(x_n,y_n)$ 求一条最好地反映x与y之间的关系直线。 即我们要找出一条直线，使这条直线“最贴近 ”已知的数据点。 也就是求一个距离每个点的距离总和最短的一个直线 $y=\widehat{a} x+b$。 最小二乘法
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摘要：定义： 若整数a和整数b除以正整数m的余数相等，则称a,b模m同余。记为$a \equiv b,(mod,m)$ 例如：$10 \equiv 24(mod ,7)$ 同余数是3. 基本性质 在写性质之前，先得有种这样的思路。 $a=p×m+r_1$ $b=q×m+r_2$ 如果$a\equiv b,
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摘要：概念 互质 若gcd(a,b)=1 则称a与b互质。 欧拉函数 1~N 中与N 互质的数的个数被称为欧拉函数,记为$φ(N)$。 若N根据算术基本定理分解为$N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}$ 则$$φ(n)=n\prod_{i=1}^{m}\left(1-\frac
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摘要：质数 判定质数 试除法判断素数 复杂度： $O ( \sqrt n )$ （每次一定是$\sqrt n$ ） 原理： 约数成对出现（完全平方数除外） 代码： bool is_prime(int x) { if (x < 2) return false; for (int i = 2; i <= x
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摘要：前言 求解最大质因数$\iff$分解质因数时只返回最大质因数 本文只讲了短除法分解质因数，算法时间复杂度为 $ \sqrt n$。 还有一个**算法时间复杂度为$O（n^{\frac{1}{4}}）$**的算法，看这里吧Pollard Rho快速因数分解 基础知识： 任何一个正整数都必然可以表示为许
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摘要：作用 比赛中大多数情况为了避免大整数运算，大多都会要求答案对一个数（大多是质数）取模。 题目中用到除法时 因为$\frac{a}{b} \% p \neq (\frac{a\%p }{b\%p}) \%p $ ，此时就无法计算，需要用到乘法逆元 当题目遇到小数时 因为取模运算时对于整数来说的，所以无
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摘要：最大公约数（gcd） 辗转相除法 算法核心： gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 证明： 公理 如果 $a$ 能整除 $k$，且 $b$ 能整除 $k$ ，那么 $ax+by$ (x,y 是未知数) 也能整除 $k$ 首先 $a \mod b=a - \lfloor \frac{a}
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摘要：题目链接 原文 题意： 在点阵上，给出 N 个点的坐标（全部都是在格点上），将它们按顺序连接可以构成一个多边形，求该多边形内包含的格点的数目。 多边形的边不一定是水平或者竖直的，可以倾斜 题解： 首先由皮克定理$$ S = a + \frac{b}{2} - 1$$（ S 是多边形面积，a 是多边形
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摘要：极角 极角，指的就是以x轴正半轴为始边，逆时针转过的角，这个角的范围是[0,2π]。 极角排序就是按极角大小排序... 极角排序求法 利用atan2函数 atan2(y,x)，表示(x,y)这个点与原点连线，这条线与x轴正半轴的夹角，这里的这个极角的范围是[−π,π]的，一二象限为正，三四象限为负。
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摘要：原文1 原文1 算法作用 判断一个数是否是素数 算法依据 费马小定理 如果P是素数，且整数a不是p的倍数有： $$a^{p-1}\equiv 1 \pmod P$$ 费马定理只是n是素数的必要条件。即费马定理不成立，n一定是合数；费马定理成立，n可能是素数。 点击查看证明 性质 1：$p-1$个整数
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摘要：快速幂 用途： 顾名思义，快速幂就是很快速的幂运算， 复杂度: O(logn) 实现原理: 规律： 如果指数是偶数，直接将底数平方，指数处以2； 如果指数是奇数，将底数平方，指数除以2，再乘上底数。 模板代码： ll qpow(ll a,ll b) //a是底数，b是指数 { ll ans=1;//
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摘要：补：二进制 转换 二进制转十进制：数字x基数^位次幂+ 例如：二进制数0101用十进制表示的数就是：1x2^0 + 0x2 ^1 + 1x2 ^2 + 0x2 ^3 = 5 十进制转二进制1.(短除法)：除2取余（从下往上取） 十进制转二进制2.：与二进制转十进制相反 七种位运算 & ：按位与（AN
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