数字拆分2022

题目：

思路：

每个数选/不选，物品个数限制，范围到2022，dp

一般背包dp[i][j]的定义是：对前i种物品进行取舍选择，背包容量为j时，所能获得的最大价值

——背包容量限制

此题：

——对1~2022进行取舍选择

——选几个数字 [新增!]

——背包容量为1~2022

解题过程：

三维0/1背包

dp[i][j][k]：

• i 对1~i进行取舍选择
• j 从前i个数字中选j个数 [新增!]
• k 选出的数和为k

的方法总数

dp[50][30][400]：含义是——在1~50中选择30个数字，使得和为400的方法总数

状态转移方程：

\(dp[i][j] = \begin{cases} dp[i-1][j][k](i>k) \\ dp[i-1][j][k]+dp[i-1][j-1][k-i](i<=k) \\ \end{cases}\)

\(i∈[1,2022],j∈[1,10],k∈[1,2022]\)

状态压缩：

不难发现dp[i][j][k]只依赖dp[i-1][][]，压缩掉i所在维度

初始化：

只需要初始化dp[0][]即可

其中dp[0][0]=1(状态压缩前dp[i][0][0]=1)

图解：

代码：

ll dp[15][2050],n=2022,m=10;

int main()
{
	dp[0][0]=1;
	for(int k=1;k<=n;++k)
		dp[0][k]=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){//n=2022
		for(int j=10;j>=1;--j){
			for(int k=n;k>=1;--k){
				if(i>k) break;
				else dp[j][k]+=dp[j-1][k-i];
			}
		}
	}
	cout<<dp[10][2022];
	return 0;
}

参考：

蓝桥杯官方书籍

图引百度三维数组