关于扩展欧几里得算法与合同式之间的关系

已知：

一次同余式：\(ax≡b(mod m)\)

(1) \(gcd(a,m)=1\)，\(b\)任意，唯一解

(2) \(gcd(a,m)=d>1\)，\(d\nmid b\)，无解

(3) \(gcd(a,m)=d>1，d\mid b\)，d个解，

​ \(α,α+m/d,α+2m/d,...α+(d-1)m/d\)，

​ \(α\)是\((a/d)x≡(b/d)(mod m/d)\)的唯一解

上述公式只是手算方便，但是写代码比较麻烦，下面推导该公式与exgcd(a,m,x,y)的关系

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\(exgcd(a,m,x,y) \Leftrightarrow ax + my = gcd(a,m)\)

\(d = gcd(a,m)\)

\(xa + ym = d \Leftrightarrow ax ≡ d (mod m)\)

——exgcd(a,m,x,y)获得了d,x,y

——其中的x，是\(ax ≡ d (mod m)\)的解

——不是\(ax ≡ b (mod m)\)的解

——下面通过放缩，得到a,m,b合同式的解

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如果\(d \nmid b\)，无解

否则\(d \mid b\)，同乘\(b/d\)

\(ax(b/d) ≡ d(b/d) (mod m) \Leftrightarrow a(x(b/d)) ≡ b(mod m)\)

——\(x(b/d)\)是整数，也正是\(ax ≡ b (mod m)\)的解

——\(x(b/d)\)归约到\(mod(m/d)\)，即为\(α\)

——\(a= x(b/d) mod(m/d)\)

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而这个\(α\)也是\((a/d)x ≡ b/d (mod (m/d))\)的解！

\(m \mid (aα-b) \Rightarrow m/d \mid (a/dα-b/d)\)

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综上，exgcd(a,m,x,y)得到\(ax ≡ d (mod m)\)的解x，方程放缩得到\(ax ≡ b (mod m)\)的特解为x(b/d)，这个特解就是mod(m/d)意义下\((a/d)x ≡ b/d (mod (m/d))\)的解\(α\)