树状数组(1)

背景：

已知一维数组a[n]，进行如下操作：修改n次\(a_k\)，每次修改完之后立即查询[a,b]的区间和

如果只用前缀和：

1. 每次查询的时间复杂度——\(O(1)\)
2. 修改1次\(a_k\)，需要\(O(n)\)的时间维护前缀和
3. 修改n次\(a_k\)，时间复杂度\(O(n^2)\)

由此，引入树状数组

作用：

解决动态区间的前缀和问题

时间复杂度：

\(O(nlogn)\)

模版：

#define lowbit(x) ((x)&(-x)) 
int n,tree[M],a[M];

void update(int x,int d)//修改元素a[x]+=d 并修改tree[x]
{
	while(x<=n){
		tree[x]+=d;
		x+=lowbit(x);
	}
} 

int sum(int x)//求[1,x]前缀和
{
	int ans=0;
	while(x>0){
		ans+=tree[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return ans;
}

int main()
{
	cin>>n; 
	for(int i=1;i<=n;++i){//初始化
		cin>>a[i];
		update(i,a[i]);
	}
	cout<<"old:[3,7] "<<sum(7)-sum(2)<<"\n";//查询区间和
	update(3,-7);//修改元素
	cout<<"new:[3,7] "<<sum(7)-sum(2)<<"\n";
	return 0;
}

样例：

8
5 4 6 5 7 0 1 3

输出：

old:[3,7] 19
new:[3,7] 12

模版的核心部分：

1. 初始化
2. 求前缀和
3. 修改元素
4. 查询区间和

模版的图解：