最短路问题总结

一张图梳理关系

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权值相同最短路

(1)BFS

针对：任意两个相邻点的距离相等的最短路问题，设此距离为1

存储：

1. 初始数据数组/nxt数组
2. 队列
3. 标记数组,记录答案数组

模版：

https://www.bilibili.com/video/BV1D94y1m7z8/?spm_id_from=333.1387.collection.video_card.click&vd_source=34da0aa07edaca8b889ad016b25904d0

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单源最短路

(1)堆优化Dijkstra算法

前提：\(D=<V,E>\)且\(w_i>=0\)

针对：无负权边的单源最短路径问题

核心：

1. 将V分为：“已确定”部分 | "待定"部分
2. 从队列中选择距离源点最近的点u，将u加入“已确定”部分
3. 松弛：检查是否能通过u，使得源点到“待定”点的距离变小

存储：

1. 邻接表
2. 优先队列
3. 距离数组(d/dis/dist)

初始化：d[i]=INF

优化：if(dis>d[u1]) continue;

模版：

https://www.bilibili.com/video/BV1Ya411L7gb/?spm_id_from=333.1387.collection.video_card.click&vd_source=34da0aa07edaca8b889ad016b25904d0

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(2)Bellman-Ford算法

前提：无

针对:有负权边的单源最短路径问题

核心:

1. \(|V|-1\)轮循环
2. 每轮循环都尝试用\(|E|\)条边，松弛源点到各点的距离
3. 负权环检测：
   \(|V|-1\)轮循环结束后，尝试用\(|E|\)条边松弛各点距离
   若可以松弛⇒有负权环

存储:边集数组+距离数组

优化:flag若d[n]在本轮没有变化，提前结束外层循环

模版:

邻接表版本：
https://www.bilibili.com/video/BV1uL4y1N7Tb?spm_id_from=333.788.videopod.sections&vd_source=34da0aa07edaca8b889ad016b25904d0

边集数组版本：
https://www.cnblogs.com/kingsteph1209/p/19640258

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多源最短路

(1)Floyd算法

有人将此算法称为“只有五行的算法”

前提：无

针对：有负权边的多源最短路径问题

核心：

1. 尝试在任意两点间插入第三个点k/通过第三个点k，看能不能通过k缩短两点距离
2. 前k次循环(包含第k次)，表示从i->j，只途经编号为1~k点，最短距离dis[i][j]

存储：邻接矩阵

初始化:

dis[i][j]=INF;dis[i][i]=0;

dis[x][y]=w;dis[y][x]=w;

模版：

https://www.bilibili.com/video/BV1u34y1575Y?spm_id_from=333.788.videopod.sections&vd_source=34da0aa07edaca8b889ad016b25904d0

注意 我写的时候往往会加上

if(dis[i][k]!=INF&&dis[k][j]!=INF)

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(2)Jonhson算法

针对：有负权边的多源最短路径问题

核心：Bellman-Ford+Dijkstra

存储：邻接表

模版：

https://www.bilibili.com/video/BV1KS4y1q7Kc?spm_id_from=333.788.videopod.sections&vd_source=34da0aa07edaca8b889ad016b25904d0