Re: 请教大家读数学书的方法

发信人: symplectic (身无彩凤双飞翼), 信区: Mathematics
标  题: Re: 请教大家读数学书的方法
发信站: 北大未名站 (2003年05月29日18:11:49 星期四) , 站内信件

如果某本书你只是拿来作参考，或者读其中某个片段的解释，自然没
这个问题。不然，是一定要做习题的。

任何一个读数学的人都知道，看别人的专著或教材，学一个新理论，
往往是非常枯燥的事情。如果开头就有难点，那简直看不下去。更多
的时候，你把证明从头到尾都看明白了，却还是觉得自己脑子里没什
么东西。这种效果当然不好。即使假定“第一遍学习不可能全理解”，
前述这种普遍情形依然很糟糕。

我有几点建设性的意见，供你参考：

第一，“不动笔墨不看书”，老话这样说是很有道理的。毕竟看一遍
的印象太肤浅。具体来说，书上讲到一个定义是 well-defined，或
某个东西是不变量，或某些一般性质如何成立，常常会留给读者自己
验证，这时你最好马上去做这个事，因为这种具体计算往往可以给你
必要的感性认识。

第二，永远记住典型例子的重要性。概念和定理，定义和证明，表面
看来是一本书的中心，但从它们出发，你很难理解一套理论和方法的
真正含义。要理解这些抽象的东西，一定要利用自己以前知道和书中
刚刚提供的典型例子，充分地去观察，计算，描绘，解释，联想，提
问，反思，找反例，一般化，特殊化...尽可能把一个例子的方方面面
烂熟于心。这样，书上的定义和定理就在你的这些例子中成为“活”
的东西，它们背后所蕴涵的问题、情境、思路、指向也就会自动向你
呈现出来。

第三，不要被书牵着鼻子走。如果单纯按照定义、例子、定理、证明、
引理、推论、习题的顺序来看书，你会感觉很乏味，不但思维活跃不
起来，而且很容易疲劳。为此，你应该有意识地让自己兴奋起来，站
在作者相对的角度(对话者)来思考。比方说，书上讲到某个概念，你
可以立刻盖上书，尝试着从自己以前的经验里找出这样的例子，越简
单越典型越好。然后问自己：这类东西有什么意义？回味一下，没有
答案也不要紧。接着往下看，你会看到解释(一本好书多少都会在重要
定义的前头后面加上直观性的解释，以及问题背景的介绍)。然后问你
自己：这问题重要吗？为什么人们对它有兴趣？它与前面的体系有什么
关联？是一个自然的引申吗？动机在哪里？我以前见过类似的东西吗？
如果是我会怎么来想这个问题？......这样的问题无穷无尽，你大可
随自己高兴在什么时候去想；如果你需要建议，那么看一个钟头书然
后停下来休息十分钟、散散步，这个空闲就可以想想；如果你这个时
候没心情，那么在回来开始继续看之前，先自己在心里“默”一“默”
刚才看过的东西，默默地向自己抛出这些挑衅式的问题。这些思考，
其意义不在于马上得到答案，而在于让你做好准备，熟悉理论和问题
的情境。这样，你接着往下看时，潜意识里就已经进入一种良好的兴
奋状态，可以比较容易地理解书中的意图。

上面几点，其实是彼此有关联的，只不过由小及大，而要点都在于
激发自己，为自己与书本之间的“对话”准备好一个适当的问题情
境。

如果你认为这些意见有道理，那么应该会接受我开头的建议：做题
是必须的。因为它们提供的正好就是许多具体的例子，以及这个理
论所面对的或一般或特殊的问题。只不过你做这些题目时的心态，
也该与一个幼稚的中小学生不同----时时记住，它们提供给你的，
是反思书中一般理论和方法的宝贵机会；你应当利用这个机会，检
查自己看书时的理解，锻炼自己对于常用技巧的掌握，熟悉这类问
题的常见思路。在做题的基础上，再另外给自己一个适当的时机，
对一节一章甚至整本书的框架作一个反思。我深信，这是读通一本
书的最通用的法门。它也同样适用于读别人的 paper。在这个经验
的基础上，慢慢的你会发现，自己不只是在“学”数学，而是真正
在“做”数学了。