最长上升子序列

1. 这道题源于牛客网上的一道笔试题，中间步骤用到了最长上升子序列的思想。

题目描述

小明有一袋子长方形的积木，如果一个积木A的长和宽都不大于另外一个积木B的长和宽，则积木A可以搭在积木B的上面。好奇的小明特别想知道这一袋子积木最多可以搭多少层，你能帮他想想办法吗？

定义每一个长方形的长L和宽W都为正整数，并且1 <= W <= L <= INT_MAX, 袋子里面长方形的个数为N, 并且 1 <= N <= 1000000.

假如袋子里共有5个积木分别为 (2, 2), (2, 4), (3, 3), (2, 5), (4, 5), 则不难判断这些积木最多可以搭成4层, 因为(2, 2) < (2, 4) < (2, 5) < (4, 5)。

输入描述:

第一行为积木的总个数 N

之后一共有N行，分别对应于每一个积木的宽W和长L

输出描述:

输出总共可以搭的层数

示例1

输入

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5
2 2
2 4
3 3
2 5
4 5

输出

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4

具体做法就是先对长排序，然后对宽进行最长上升（不递减）子序列的搜索。参考知乎的一个解答如下，但仍然复杂度太高，期待更加有效的解法。

N = int(input())
temp = []
for i in range(N):
    temp.append(list(map(int, input().split())))
temp = sorted(temp, key=lambda x:x[0])
def lengthOfLIS(s):
    if len(s)<=1:return len(s)
    dp = [0]*len(s)
    for i in range(len(s)):
        max_len = 0
        for j in range(i):
            if s[i]>=s[j]:
                if dp[j]>max_len:
                    max_len = dp[j]
        dp[i] = max_len+1
#    print(dp)
    return max(dp)
    
print(lengthOfLIS([i[1] for i in temp]))

 

最长子序列算法思想：(动态规划)

1.状态

f[i]表示前 i 个元素， 并且以第 i 个元素为结尾的，最长子序列长度是多少

 

2.方程

f[i] = for j :

if(A[i] > A[j])

{

A[i] = Math.max(A[j] + 1, A[i])

}

对于 i 前面的所有点 j ，如果 A[i] 大于 A[j] 的话，说明可以继续在 A[j] 的后面加上 A[i] ，

则f[i] = f[j] + 1

 

重新将上面的思路整理了下，还是很清晰的。原题见leetcode 300 Longest Increasing Subsequence

图源：慕课网

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums) -> int:
        if len(nums)<2: return len(nums)
        res = [1]*len(nums)
        for i in range(1,len(nums)):
            for j in range(i):
                if nums[i]>nums[j]:         # 如果当前元素比之前的元素大，则考虑将当前的元素放到后面
                    res[i] = max(res[i], res[j]+1)
        return max(res)