欧拉函数

http://www.cnblogs.com/exponent/archive/2011/08/09/2131960.html

设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值

φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数

φ函数的值 　通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。

φ(1)=1 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

 

欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数.

它又称为Euler'stotientfunction、φ函数、欧拉商数等。例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质

性质：

1.欧拉函数是积性函数,但不是完全积性函数,即φ(mn)=φ(n)*φ(m)只在(n,m)=1互质时成立.

2.对于一个正整数N的素数幂分解N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn.

   φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/Pn).

3.除了N=2,φ(N)都是偶数.

4.设N为正整数,∑φ(d)=N (d|N).

根据性质2,我们可以在O(sqrt(n))的时间内求出一个数的欧拉函数值.

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)

求欧拉函数值：

#include "iostream"
#include "cstdio"
using namespace std;
#define LL long long
LL phi(LL n)///求n的欧拉函数
{
    LL temp=n;
    for(LL i=2;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0) //找n的质因子
        {
            while(n%i==0)n/=i;
            temp=temp/i*(i-1);
        }
    if(n!=1)temp=temp/n*(n-1);
    return temp;
}
int main()
{
    LL n;
    while(~scanf("%I64d",&n)&&n)
    {
        printf("%I64d\n",phi(n));
    }
    return 0;
}

 

 

 http://poj.org/problem?id=2407

#include "iostream"
#include "string"
#include "cstdio"
#include "cstdlib"
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int el1(int n)
{
    int Count=0;
    for(int i=n;i>0;i--)
    {
        if(gcd(n,i)==1)///计算个数o(n)
        {
            Count++;
        }
    }
    return Count;
}

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)&&n)
    {
        cout<<el1(n)<<endl;
    }
}

 Time Limit Exceeded

#include "iostream"
#include "string"
#include "cstdio"
#include "cstdlib"
using namespace std;

#include "cmath"

const int NUM=1000000001;
int p[NUM];
void prime()
{
    p[0]=p[1]=1;
    int i=2,j=0;
    for(i=2;i<NUM;i++)
    {
        if(p[i]==0)
        {
           for(j=i+i;j<NUM;j+=i){
                p[j]=1;
           }
        }
    }
}

double el2(int n)///欧拉公式
{
    double sum=n;
    if(p[n]==0)
    {
        return sum-1;
    }
    else
    {
        int i=2;
        while(n>1)
        {
            if(p[i]==0)
            {
                int j=0;
                while(n%i==0)
                {
                   if(j==0)
                   {
                      sum=sum*(1-1.0/i);
                      j++;
                   }
                   n/=i;
                }
            }
            i++;
        }
        return sum;
    }
}
int main()
{
    int n;
    prime();
    while(~scanf("%d",&n)&&n)
    {
        cout<<el2(n)<<endl;
    }
}

Runtime Error

1.关于本题：分解为素数乘积时，潜在的范围，2->sqrt(n)，
另外不用判断是否为素数，从2开始除的必定都是素数
2.关代码 摘自http://www.cnblogs.com/neopenx/p/4095268.html

学习！！！1.C++ STL 2.#define LL long long 3.规范（命名）

正解：

#include "cstdio"
#include "map"
using namespace std;
#define LL long long
map<LL,LL> prime_factor(LL n)
{
    map<LL,LL> res;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
        while(n%i==0) {++res[i];n/=i;}//res键重复 覆盖
    if(n!=1) res[n]=1;
    return res;
}
int main()
{
    LL n;
    while(scanf("%I64d",&n)!=EOF&&n)
    {
        if(n==1) {printf("1\n");continue;}
        map<LL,LL> fac=prime_factor(n);
        LL ret=n;
        for(map<LL,LL>::iterator i=fac.begin();i!=fac.end();i++)
           ret=ret/i->first*(i->first-1);//first是Key, second是value;  提取从头到尾的键参与运算
        printf("%I64d\n",ret);
    }
}