决策树（一）——构建决策树

决策树

说明：这篇博客是看李航老师的《统计学习方法》做的笔记总结，博客中有很多内容是摘选自李航老师的《统计学习方法》一书，仅供学习交流使用。

决策树（decision tree）是一种基本的分类与回归方法。主要讨论用于分类的决策树。

决策树模型呈树形结构，在分类问题中，表示基于特征对实例进行分类的过程。它可以认为是if-then规则集合，也可以认为是定义在特征空间与类空间上的条件概率分布。其主要优点是模型具有可读性，分类速度快。

简单来说，决策树就是一棵树，一颗决策树包含一个根节点、若干个内部结点和若干个叶结点；叶结点对应于决策结果，其他每个结点则对应于一个特征测试；分类的具体操作是从根节点开始，对实例的每一特征进行测试，根据测试结果，将实例分配到其子节点；这时，每一个子节点对应着给特征的一个取值。如此递归地对实例进行测试并分配，直至达到叶节点。最后将实例分到叶节点的类中。下面直接上个图，帮助大家理解一下：

名字	体温	胎生	类别
小狗狗	恒温	是	哺乳动物

注：圆框代表内部节点，方框代表叶节点。

决策树通常包括三个步骤：特征选择、决策树的生成和决策树的修剪。

决策树学习的目标：根据给定的训练数据集构建一个决策树模型，使它能够对实例进行正确的分类。

决策树学习的本质：从训练数据集中归纳出一组分类规则。

决策树学习的策略：以损失函数为目标函数的最小化。

特征选择

特征选择在于选取对训练数据具有分类能力的特征。这样可以提高决策树学习的效率，如果利用一个特征进行分类的结果与随机分类的结果没有很大差别，则称这个特征是没有分类能力的。经验上扔掉这样的特征对决策树学习的精度影响不大。通常特征选择的准则是信息增益或信息增益比。

简单来说，就是找出比较好的特征来划分特征空间。比如判断是否为哺乳动物这个例子，其中有体温和胎生两个特征，那么选哪一个作为根节点呢？而特征选择就是用来解决这个问题的方法。

经验熵、经验条件熵

为了便于说明，这里先给出熵和条件熵的定义。

在信息论与概率统计中，熵（entropy）是表示随机变量不确定性的度量。设X是一个取有限个值的离散随机变量，其概率分布为
$$P(X=x_i)=p_i,i=1,2,\dots ,n$$
则随机变量X的熵定义为
$$H(X)=-\sum _{i=1}^n{p}_{i}lo{g}_2{p}_i$$
熵越大，随机变量的不确定性就越大。

为了更好的理解熵与不确定性的关系，我们可以举一个例子

如一个普通的骰子A，扔出1-6的概率均为1/6

假设一个骰子B，扔出6的概率为50%，扔出1-5的概率为10%

则骰子A的熵为$-(\frac{1}{6}lo{g}_2\frac{1}{6})\ast 6\approx 2.585$

骰子B的熵为$-\frac{1}{2}lo{g}_2\frac{1}{2}-\frac{1}{10}lo{g}_2\frac{1}{10}\ast 5\approx 2.161$

条件熵H(Y|X)表示在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性。随机变量X给定条件下随机变量Y的条件熵（conditional entropy）H(Y|X)，定义为X给定条件下Y的条件概率分布的熵对X的数学期望
$$H(Y|X)=\sum _{i=1}^n{p}_{i}H(Y|X=x_i)$$
这里，$p_i=P(x=x_i),i=1,2,\dots ,n$。

当熵和条件熵中的概率由数据估计（特别是极大似然估计）得到时，所对应的熵和条件熵分别成为经验熵和经验条件熵。

假设现在有一个数据集D，|D|表示数据集D的样本容量，即样本个数。而样本中有K个类（$k=1,2,\dots ,K$），$|C_k|$为属于类$C_k$的样本数。

此时在数据集D上，经验熵的公式为
$$H(D)=-\sum _{k=1}^K\frac{|C_k|}{|D|}lo{g}_2\frac{|C_k|}{|D|}$$
同样在上述的数据集中，特征A的取值有n个（数据集中有n个特征），其取值将数据集D划分为了n个小的子集$D_i$，而子集$D_i$属于类$C_k$的样本集合记为$D_{ik}$，即$D_{ik}=D_i\cap C_k$。

那么特征A对数据集D的经验条件熵H(D|A)
$$H(D|A)=\sum _{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}H(D_i)=-\sum _{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}\sum _{k=1}^K\frac{|D_{ik}|}{|D_i|}lo{g}_2\frac{|D_{ik}|}{|D_i|}$$
为了更好的理解公式，这里引入《统计学习方法》书中的例子

ID	年龄	有工作	有自己的房子	信贷情况	类别
1	青年	否	否	一般	否
2	青年	否	否	好	否
3	青年	是	否	好	是
4	青年	是	是	一般	是
5	青年	否	否	一般	否
6	中年	否	否	一般	否
7	中年	否	否	好	否
8	中年	是	是	好	是
9	中年	否	是	非常好	是
10	中年	否	是	非常好	是
11	老年	否	是	非常好	是
12	老年	否	是	好	是
13	老年	是	否	好	是
14	老年	是	否	非常好	是
15	老年	否	否	一般	否

该例中类别$C_k$的取值有两个否和是，$C_{否}=6，C_{是}=9$，则经验熵为
$$\begin{array}{rl}H(D)& =-\sum _{k=1}^K\frac{|C_k|}{|D|}lo{g}_2\frac{|C_k|}{|D|}\\ & =-\frac{|C_{否}|}{|D|}lo{g}_2\frac{|C_{否}|}{|D|}-\frac{|C_{是}|}{|D|}lo{g}_2\frac{|C_{是}|}{|D|}\\ & =-\frac{6}{15}lo{g}_2\frac{6}{15}-\frac{9}{15}lo{g}_2\frac{9}{15}=0.971\end{array}$$
该例中第一个特征的取值有3个，其中$D_1=D_2=D_3=5$，$D_{1否}=3，D_{1是}=2$，$D_{2否}=2，D_{2是}=3$，$D_{3否}=1，D_{3是}=4$，则经验条件熵为
$$\begin{array}{rl}H(D|A_1)& =-\sum _{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}\sum _{k=1}^K\frac{|D_{ik}|}{|D_i|}lo{g}_2\frac{|D_{ik}|}{|D_i|}\\ & =-\frac{|D_1|}{|D|}\sum _{k=1}^K\frac{|D_{1k}|}{|D_1|}lo{g}_2\frac{|D_{1k}|}{|D_1|}-\frac{|D_2|}{|D|}\sum _{k=1}^K\frac{|D_{2k}|}{|D_2|}lo{g}_2\frac{|D_{2k}|}{|D_2|}-\frac{|D_3|}{|D|}\sum _{k=1}^K\frac{|D_{3k}|}{|D_3|}lo{g}_2\frac{|D_{3k}|}{|D_3|}\\ & =-\frac{5}{15}(\frac{3}{5}lo{g}_2\frac{3}{5}+\frac{2}{5}lo{g}_2\frac{2}{5})-\frac{5}{15}(\frac{2}{5}lo{g}_2\frac{2}{5}+\frac{3}{5}lo{g}_2\frac{3}{5})-\frac{5}{15}(\frac{1}{5}lo{g}_2\frac{1}{5}+\frac{4}{5}lo{g}_2\frac{4}{5})\\ & =0.8879432\approx 0.888\end{array}$$

第二个特征（有工作）的取值有2两个，其中$D_1=10（没有工作）,D_2=5（有工作）$，$D_{1否}=6，D_{1是}=4$，$D_{2是}=5$，则经验条件熵为
$$\begin{array}{rl}H(D|A_1)& =-\sum _{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}\sum _{k=1}^K\frac{|D_{ik}|}{|D_i|}lo{g}_2\frac{|D_{ik}|}{|D_i|}\\ & =-\frac{10}{15}H(D_1)-\frac{5}{15}H(D_2)\\ & =-\frac{10}{15}(\frac{4}{10}lo{g}_2\frac{4}{10}+\frac{6}{10}lo{g}_2\frac{6}{10})-\frac{5}{15}\ast 0\\ & \approx 0.324\end{array}$$
其他特征同理。

代码实现经验熵、经验条件熵

代码实现经验熵计算

from math import log
# 数据集
dataSet=[[0, 0, 0, 0, 'no'],
        [0, 0, 0, 1, 'no'],
        [0, 1, 0, 1, 'yes'],
        [0, 1, 1, 0, 'yes'],
        [0, 0, 0, 0, 'no'],
        [1, 0, 0, 0, 'no'],
        [1, 0, 0, 1, 'no'],
        [1, 1, 1, 1, 'yes'],
        [1, 0, 1, 2, 'yes'],
        [1, 0, 1, 2, 'yes'],
        [2, 0, 1, 2, 'yes'],
        [2, 0, 1, 1, 'yes'],
        [2, 1, 0, 1, 'yes'],
        [2, 1, 0, 2, 'yes'],
        [2, 0, 0, 0, 'no']]
#数据集D的样本个数
num_D=len(dataSet)
#记录类别的字典
labelCounts={}
#记录数据集中的类别，并统计其个数
for featVec in dataSet:
    currentLabel=featVec[-1]                     #读取类别信息
    if currentLabel not in labelCounts.keys():   #如果读取的类别没有放入统计次数的字典，添加进去
        labelCounts[currentLabel]=0              #默认值为0
    labelCounts[currentLabel]+=1                 #计数

entropy=0.0                                   #经验熵
#计算经验熵
for key in labelCounts:
    prob=float(labelCounts[key])/num_D
    entropy-=prob*log(prob,2)                 #利用公式计算
print("数据集D的经验熵H(D):",format(entropy,'.3f'))

数据集D的经验熵H(D): 0.971

代码实现经验条件熵计算

from math import log
# 数据集
dataSet=[[0, 0, 0, 0, 'no'],
        [0, 0, 0, 1, 'no'],
        [0, 1, 0, 1, 'yes'],
        [0, 1, 1, 0, 'yes'],
        [0, 0, 0, 0, 'no'],
        [1, 0, 0, 0, 'no'],
        [1, 0, 0, 1, 'no'],
        [1, 1, 1, 1, 'yes'],
        [1, 0, 1, 2, 'yes'],
        [1, 0, 1, 2, 'yes'],
        [2, 0, 1, 2, 'yes'],
        [2, 0, 1, 1, 'yes'],
        [2, 1, 0, 1, 'yes'],
        [2, 1, 0, 2, 'yes'],
        [2, 0, 0, 0, 'no']]
'''
将数据集D按照特征划分为一个个子集
'''
def splitDataSet(dataSet, axis, value):
    retDataSet=[]
    for featVec in dataSet:
        if featVec[axis] == value:
            reduceFeatVec=featVec[:axis]
            reduceFeatVec.extend(featVec[axis+1:])
            retDataSet.append(reduceFeatVec)
    return retDataSet
'''
计算数据集的经验熵
'''
def empiricalEnt(dataSet):
    #数据集D的样本个数
    num_D=len(dataSet)
    #记录类别的字典
    labelCounts={}
    #记录数据集中的类别，并统计其个数
    for featVec in dataSet:
        currentLabel=featVec[-1]                     #读取类别信息
        if currentLabel not in labelCounts.keys():   #如果读取的类别没有放入统计次数的字典，添加进去
            labelCounts[currentLabel]=0              #默认值为0
        labelCounts[currentLabel]+=1                 #计数

    entropy=0.0                                   #经验熵
    #计算经验熵
    for key in labelCounts:
        prob=float(labelCounts[key])/num_D
        entropy-=prob*log(prob,2)                 #利用公式计算
    return entropy
'''
计算经验条件熵
'''
#特征数
features = len(dataSet[0])-1
for i in range(features):
    #获取第i个特征的所有值
    featList = [example[i] for example in dataSet]
    #创建集合uniqueValue，元素不可重复
    uniqueValue = set(featList)
    #经验条件熵
    conditionalEnt = 0.0
    #计算经验信息熵
    for value in uniqueValue:
        #划分子集
        subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value)
        #子集与原数据集之比
        prob = len(subDataSet)/float(len(dataSet))
        #子集经验熵
        conditionalEnt += prob*empiricalEnt(subDataSet)
    print(format(conditionalEnt,'.3f'))
    '''
    info = empiricalEnt(dataSet)-conditionalEnt
	print('第%d个特征的信息增益%.3f' %(i, info))
    '''

0.888
0.647
0.551
0.608

信息增益

特征A对训练数据集D的信息增益g(D,A)，定义为集合D的经验熵H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵H(D|A)之差，即
$$g(D,A)=H(D)-H(D|A)$$
其中经验熵H(D)表示对数据集D进行分类的不确定性，而经验条件熵H(D|A)表示在特征A给定的条件下对数据集D进行分类的不确定性。那么**信息增益就表示由于特征A而使得对数据集D进行分类得不确定性减少的程度。**那么在进行分类的时候肯定选择信息增益大的作为根节点。

而对信息增益的代码实现也很简单，只需要在上述经验条件熵的第二个for循环后加上如下代码即可

info = empiricalEnt(dataSet)-conditionalEnt
print('第%d个特征的信息增益%.3f' %(i, info))

第0个特征的信息增益0.083
第1个特征的信息增益0.324
第2个特征的信息增益0.420
第3个特征的信息增益0.363

信息增益比

在使用信息增益作为划分训练数据集的特征时，存在偏向于选择取值较多的特征的问题，使用信息增益比可以对这一问题进行校正。

定义：特征A对训练数据集D的信息增益比$g_R(D,A)$定义为其信息增益g(D,A)与训练数据集D关于特征A的值的熵$H_A(D)$之比，即
$$g_R(D,A)=\frac{g(D,A)}{H_A(D)}$$
其中，$H_A(D)=-{\sum }_{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}lo{g}_2\frac{|D_i|}{|D|}$，n是特征A的取值个数。

参考文章：

https://blog.csdn.net/u012328159/article/details/70184415

https://blog.csdn.net/jiaoyangwm/article/details/79525237