取数游戏

有一个有趣得取数游戏。初始时，给出一个环，环上得每条边上都有一个非负整数。这些整数中至少有一个是0。然后，将一枚硬币放在环上得一个节点上。二个玩家就是以这个放硬币得节点为起点开始这个游戏，二人轮流取数，取数得规则如下：

    （1）选择硬币左边或右边得一条边，并且边上得数非0；

    （2）将这条边上的数减至任意一个非负整数（至少要有所减小）；

    （3）将硬币移到边的另一端。

    如果轮到一个玩家走，这时硬币左右两边的边上的数值都是0，那么这个玩家就输了。

    如下图所示，描述的时爱丽思和鲍勃两人的对弈过程，其中黑色节点表示硬币所在节点，结果图（d）中，轮到鲍勃走时，硬币两边的边上都是0。所以爱丽思获胜。

 

    现在你的任务是根据给出的环、边上的数值以及起点（硬币所在位置），判断先走方是否有必胜的策略。

    输入：第行一个整数N（N<=20），表示环上的节点数。

    第2行N个数，数值不超过30，依次表示N条边上的数值。硬币的起始位置是第一条边与最后一条边之间的节点上。

    输出：仅1行。若存在必胜策略，则输出‘YES’，否则输出‘NO’。

【输入输出样例】

cycle.in

4

2  5  3  0

cycle.out

YES

 

Cycle.in

3

0  0  0

cycle.out

NO

 

【问题分析】

    考虑一个简化的问题。如果硬币的一边的数值为0，那么惟一可能取胜的走法就是向另一边移动，并且把边上的数减到0。因为如果不把边上的数减到0，那么下一步对方会将硬币移动到原来的位置，并且将边上的数减到0，这样硬币两边的数值就都为0了。所以，对于一边有0的情况，双方惟一的走法就是不停的向另一边移动，并取完边上的数值。因此，判断是否有必胜策略，就是看另一个方向上连续的非零边是否为奇数条。

    那么两边都非零的情况呢?如果有一个方向上连续的非零边为奇数条，那么显然是有必胜策略的，因为只需往这个方向走并取完边上的数即可。如果两个方向上连续的非零边都是偶数条，则没有必胜策略。因为不管往哪个方向走，必然不能取完边上的数，否则必败。如果不取完，则下一步对方可以将硬币移动回原来的位置并取完边上的数，这样就变成了一边为0、另一边有偶数条连续的非零边的情况，还是必败。所以，对于一般的情况，只需判断硬币的两边是否至少有一边存在奇数条连续的非零边。如果存在，则有必胜策略；否则无必胜策略。算法的时间复杂度为O(N)。

【参考程序】

var i,n,left,right:longint;//left表示左边有几个连续非零数，right表示右边有几个连续非零数

   a:array[1..20]of longint;

begin

   readln(n);

   for i:=1 to n do

     read(a[i]);

   left:=0;

   right:=0;

   for i:=1 to n do

     if a[i]<>0 then inc(right)

     else break;

   for i:=n downto 1 do

     if a[i]<>0 then inc(left)

     else break;

   if odd(left) or odd(right) then writeln('YES')//有必胜策略

   else if (not odd(left))and(not odd(right)) then writeln('NO');//无必胜策略

end.