博弈论练习6 Deleting Divisors(sg找规律，思维)

题目链接在这里：G-Deleting Divisors_牛客竞赛博弈专题班组合游戏基本概念、对抗搜索、Bash游戏、Nim游戏习题 (nowcoder.com)

这道题一道比较明显的思路是使用sg函数，因为可以看到比较明显的一个状态推到另一个状态的过程。在考场上的话应该想到的是通过sg函数打表找规律来做。

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
const int MAX=100005;
int n;
int sg[MAX];
int main(){
    int i,j;
    memset(sg,0,sizeof(sg));
    for (i=2;i<=1000;i++)
        for (j=2;j*j<=i;j++)
            if (i%j==0){
                if (sg[i-j]==0 || sg[i-i/j]==0)
                    sg[i]=1;
            }
    for (i=1;i<=1000;i++)
        cout<<i<<" : "<<sg[i]<<endl;
    return 0;
}

 

 

下面是正解：

通过分解质因数然后观察可以看出这个和奇偶性是有关系的，我们就来考虑两种状态：

1. 如果当前数为一个奇数，那么它的所有因子一定是奇数，所以它减掉一个因子一定是一个偶数，即它的下一状态要么是已经寄了，要么是第二状态。

2. 如果当前数是一个偶数，并且不为2的次幂，那么它一定能转成第一状态，因为假设当前数为m*2^k，那么我们减去一个m，剩下的数必定为m*(2^k-1)，两个奇数相乘必定是奇数。

综上，我们看到，在2状态下必胜，只有在1状态下在会输。

现在我们来看一下2的次幂怎么做，2的次幂要么转成1，要么转成2，因为转成2必胜，所以当前操作肯定是为了转成1，所以就是每次除以2，这就要看2上面的指数的奇偶了。

所以我们判断里两个，对于非2的次幂奇数必败，偶数必胜。对于2的次幂，指数奇数必败，指数偶数必胜。

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
int t;
int n;
int check(int x){
    int i,j,an=0;
    while (x%2==0){
        an++;
        x/=2;
    }
    return x==1?an:0;
}
int main(){
    int i,j,an;
    scanf("%d",&t);
    while (t--){
        scanf("%d",&n);
        if (n%2==1) cout<<"Bob"<<endl;
        else{
            an=check(n);
            if (an==0 || an%2==0) cout<<"Alice"<<endl;
            else cout<<"Bob"<<endl;
        }
    }
    return 0;
}