图论小知识

/*******************************************
   邻接表 储存图
   空间复杂度O(m+n)
   时间复杂度O(m)
   优点：
   缺点：
********************************************/
#include<stdio.h>
#define MAXN 1111
#define MAXM 1111
int head[MAXN];//储存起点为Ui的位置
struct node
{
	int from;//起点
	int to; //终点
	int cap;//权值
	int next;//
}edge[MAXM];
int tot=0;
void add(int u, int v, int cap ,int rw =0 )//建边
{
    node E = {u, v, cap, head[u]};  
    edge[ tot ] = E;  
    head[ u ] = tot++;  

    node E2 = {v, u, rw,  head[v]};  //反向边
    edge[ tot ] = E2;  
    head[ v ] = tot++;  
}  
int main()
{
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(k=head[i];k!=-1;k=edge[k].next)
		{
				printf("%d %d %d\n",edge[j].from,edge[j].to,edge[j].cap);
		}
	}
}

欧拉回路：从一个点恰通过每条边一次 最终回到起点

条件：1.所有点都是连通的

            2.（对于无向图）度数为奇数的点的个数为0 （对于有向图）每个点的入度==出度

变形欧拉图：可以不回到起点，经过所有边

条件：1.所有点都是连通的 

     2.（对于无向图）度数为奇数的点的个数为2（起点和终点）

       （对于有向图）存在1个点的入度+1==出度（起点）

   存在1个点的出度+1==入度（终点）

最小环证明：（可用floyd求）

一个环中的最大结点为k(编号最大)，与他相连的两个点为i,j，这个环的最短长度为g[i][k]+g[k][j]+i到j的路径中,所有结点编号都小于k的最短路径长度
根据floyd的原理，在最外层循环做了k-1次之后，dist[i][j]则代表了i到j的路径中，所有结点编号都小于k的最短路径
综上所述，该算法一定能找到图中最小环

void dfs(int i, int j) {
    int k = f[i][j];
    if(k == 0)  {
        pash[num++] = j;
        return ;
    }
    dfs(i, k);
    dfs(k, j);
}   


//---------------------------------------------------
     for(k = 1; k <= n; ++k) {
        for(i = 1; i < k; ++i) {
            for(j = i + 1; j < k; ++j) {
                if(ans > dis[i][j] + mp[i][k] + mp[k][j]) {    //找最小环
                    ans = dis[i][j] + mp[i][k] + mp[k][j];
                    num = 0;
                    pash[num++] = i;
                    dfs(i, j);
                    pash[num++] = k;
                }
            }
        }

        for(i = 1; i <= n; ++i) {
            for(j = 1; j <= n; ++j) {
                if(dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]) {
                    dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
                    f[i][j] = k;    //f[i][j]记录i到j经过的点
                }
            }
        }
    }