莫比乌斯反演
警告，本文含有大量数学公式
莫比乌斯函数
对于正整数\(N\)，我们都可以将它进行唯一分解\(P_1^{c_1}P_2^{c_2}...P_k^{c_k}\)
我们就用\(\mu\)
注：\(\exists\)表示存在
用代码求
#include<iostream>
using namespace std;
void mobius(int n) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
miu[i] = 1;
vis[i]= false;
}
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if(vis[i] == true)
continue;
miu[i] = -1;
//质数自己 ,-1
for (int j = 2*i; j <= n; j+=i) {
vis[j] = true;
if(j % (i*i) == 0)
miu[j] = 0; else
miu[j] *= -1;
//取相反数, j的质因数可能有多个，奇数个就是-1
}
}
return ;
}
int main() {
return 0;
}
数论函数（算术函数）
定义域在正整数上的函数
我们总的来说分为两类：加性函数和积性函数
加性函数
如果\(\gcd (a,b)=1\)，那么\(f(a+b)=f(a)+f(b)\)
完全加性函数:\(a,b\)不一定互质
积性函数
\(a,b\)互质且\(f(1)=1\)，\((f*g)(n)=f(n)*g(n)\)
完全积性函数:\(a,b\)不一定互质
狄利克雷卷积
形式
形式1 \((f*g)(n)=\sum\limits_{xy=n} f(x)\times g(y)\)
形式2 \((f*g)(n)=\sum\limits_{d|n} f(d)\times g(\frac{n}{d})\)
性质
性质一
交换律，结合律，分配律
性质二
普及一个概念：单位函数
我们就有
考虑\(d=1\)时
性质三
若\(f,g\)都是积性函数
那么\((f*g)(n)\)也是积性函数
证明：
设\(a,b\)互质
\((1)*(2)\)得
整理得（乘法原理）
所以有
得到\((3)\)式
性质四
关于除数函数与幂函数的小结论（有关常函数）
推论
除数函数和幂函数可以相互转化
其实这就是一个简单的莫比乌斯反演。
性质五
关于欧拉函数的小结论
当\(p\)为质数且\(d=p^m\)时
综上，\(p\)为质数时，\((\varphi *I)(p^m)=p^m\)
进一步推广得到\((\varphi *I)(n)=n\)
即\(\varphi * I=ID\)
性质六
莫比乌斯函数得小结论
证明很短
还有\((\mu * I)(n)=\epsilon(n)\)
性质七
这不是二项式定理吗？简化为
观察一下发现就是单位函数的定义了
常用积性函数
单位函数
是完全积性函数
幂函数
特别的，当\(k=1\)时，\(ID_1(n)=n\)；\(k=0\)时，\(ID_0(n)=1\)
是完全积性函数
除数函数
当\(k=1\)时，\(\sigma_1(n)=\sum\limits_{d|n}d^k\)
叫做约数和函数
当\(k=0\)时，\(\sigma_0(n)=\sum\limits_{d|n}1\)
叫做约数个数函数
莫比乌斯函数
这个不用讲了吧。
欧拉函数
参见我的这篇文章
常数函数
莫比乌斯反演公式
终于进入正题
等价于
用更简单得形式为
\(f*I=g\)等价于\(f=g*\mu\)
拿简单的形式来证明
做题前的小补充
整除分块
一个小例题
给定一个整数\(n\in [1,10^9]\)
求
我们将他们按照\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)来分成一个一个块，假设这一个块的左右边界分别是\(L,R\)
则有
又因为\(R\in Z\)
真例题这里
可以化简为以上的形式，就不分析了（考虑贡献）
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n, ans;
signed main() {
cin >> n;
for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
r = (n / (n / l));
ans += (r - l + 1) * (n / l);
}
cout << ans;
return 0;
}
小小小扩展这里
我们实际上求的是
对于每一个块单独分析一波，就好了（高斯求和公式）
Code
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int x, y;
int sum(int x) {
int ans = 0;
for (int l = 1, r; l <= x; l = r + 1) {
r = (x / (x / l));
ans += (r - l + 1) * (x / l) * (l + r) / 2;
}
return ans;
}
signed main() {
cin >> x >> y;
cout << sum(y) - sum(x - 1);
return 0;
}
再来一个补充这里
莫比乌斯反演的应用
一.关于\(\gcd\)
证明
将\(n=\gcd(i,j)\)带入即可得到结论
二.还是关于\(\gcd\)
例题：求\(1\leq x\leq n, 1\leq y\leq m, \gcd(x,y)=1\)的数量
太难搞，改为枚举\(\gcd\)
一个整除分块（二维）就做好了
杜教筛
应用场景：求积性函数\(f(n)\)的前缀和，即
我们设
我们构造另一个积性函数\(g(n)\)，那么有\((f*g)(n)\)
移项可得
这里我们令\(f=\mu\)，因为\(\mu*I=\epsilon\)
代入得
这样我们就得到了一个递推式，如果我们纯递归的话时间复杂度为\(O(n^{\frac{3}{4}})\)
我们有一个小技巧，先用线性筛筛出前\(\frac{2}{3}n\)个\(\mu\)，再来递推，就可以优化到\(O(n^{\frac{2}{3}})\)
很神奇吧，时间复杂度我不会证明（菜）
例题
P3455 [POI2007]ZAP-Queries
我们看一下这道题要我们求的式子
根据上面的定理可以得到
令\(x=a/d,y=b/d\)，反演得到
注意这一个式子中的\(d\)不是题目中的
我们先预处理出来莫比乌斯函数的前缀和，然后用一个整出分块就做完了，还是很模板的
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 5e4 + 10;
int n, m;
int miu[N], sum[N];
bool vis[N];
vector<int> pri;
void init(int n) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
miu[i] = 1;
vis[i]= false;
}
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if(vis[i] == true)
continue;
miu[i] = -1;
//质数自己 ,-1
pri.push_back(i);
for (int j = 2*i; j <= n; j+=i) {
vis[j] = true;
if(j % (i*i) == 0)
miu[j] = 0; else
miu[j] *= -1;
//取相反数, j的质因数可能有多个，奇数个就是-1
}
}
for (int i = 1; i<= n; i ++)
sum[i] = sum[i - 1] + miu[i];
return ;
}
int Get(int n, int m) {
int ans = 0;
for (int l = 1, r; l <= min(n, m); l = r + 1) {
r = min(n / (n / l), m / (m / l));
ans += (n / l) * (m / l) * (sum[r] - sum[l - 1]);
}
// cout << ans << endl;
return ans;
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(false);
init(50000);
int T;
cin >> T;
while(T --) {
int ans = 0, d = 0;
cin >> n >> m >> d;
cout << Get(n / d, m / d) << "\n";
}
return 0;
}
愉快的做出来第一道莫反题目
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