线性代数-笔记

线性代数-笔记

行列式

行列式的计算

  1. 主对角线的数减去副对角线的数

  2. 化成三角形行列式计算

    上三角形

    下三角形

主对角线以上或者以下为零称为三角形行列式

计算方法：主对角线上的数相乘

  1. 利用拉普拉斯公式计算行列式

将行列式分块，简化成成三角形行列式，然后将主对角线上的行列式相乘

行列式的性质

  1. 行列式的倍加性质：行列式的某行或者某列的k倍加到另一行或者列，行列式的值不变

  2. 行列式的某一行或者某一列的所有元素的公因子可以提到行列式的外面

  3. 交换行列式的两行或者两列，行列式的值变号

范德蒙行列式的计算

特点：

  1. 第一行或者列全为1

  2. 其余每行或者列均为等比数

    (公比元素在第二行)

计算方法：公比元素作差再相乘

余子式、代数余子式

  1. aij 的 余子式 就是去掉 aij 所在的行和所在的列所得到的行列式，记为 Mij

  2. aij 的 代数余子式 就是代数余子式加一个 符号

    (i + j 为偶数取正，为奇数取负)

行列式的展开定理

行列式 = 某行或者某列 元素 乘以相应的 代数余子式 再求和

典型例题：给你一个行列式，让你求：A31 + 3A32 + ... + A3j 的值

解：把对应的第三行的元素换成相应代数余子式前面的系数，然后求解出新行列式的值

矩阵

矩阵的乘法

左边矩阵对应的行元素乘以右边矩阵对于的列元素然后相加，左边矩阵行元素的行决定相乘后元素的行标，右边矩阵的列元素决定想乘后元素的列标。

  • 左边矩阵的 列 必须等于右边矩阵的 行 才可以相乘

矩阵的乘法满足性质

  1. 矩阵的乘法不满足交换律

    AB != BA

  2. 矩阵的乘法满足分配律

    AB + A = A(B + E)

抽象矩阵的逆矩阵

对于方阵A、B，若 AB = E 或者 BA = E, 则A、B互为逆矩阵

A ** -1 = B，B ** -1 = A

  1. 凑定义法
  2. 长除法

数字型矩阵求逆

  1. 利用行变换法求A ** -1：(A|E) 多次行变换成 (E|A ** - 1)
  2. 二阶矩阵A ** -1 秒杀法：“两调一除”
  • 矩阵 A 可逆 <=> 行列式 |A| != 0

求解矩阵方程

  1. A X = B => X = A ** -1 B
  2. X A = B => X = B A ** -1
  3. A X B = C => X = A ** -1 C B ** -1
  • 以上必须满足 A ** -1或者 B ** -1 存在

伴随矩阵A*

A*称为A的伴随矩阵

A* = |A|A ** -1

AA* = |A|E

矩阵的秩

矩阵的秩序：非零余子式的最高阶数

行阶梯形的特点：矩阵中的每一行首非0元所在的列比下一行首非0元所在的列都靠前。

向量组

数字型线性相关性

  1. 两个向量 a1 与 a2 相关 <=> a1 与 a2 对应成比例

    |a1a2| = 0 <=> a1 与 a2 对应成比例 (方阵)

  2. 多个向量a1，a2 ... am 相关

    |a1 a2 ... am| = 0 (方阵)

    r(a1...am) < m

抽象型线性相关性

抽象向量组的表示方法 => 简单向量 * 数字型矩阵

将复杂向量组化成简单向量乘以数字型矩阵

如果简单向量组是 无关 的

无关组 * 可逆矩阵 => 无关

无关组 * 不可逆矩阵 => 相关

向量组的秩与极大无关组

  1. 向量组的 秩 就是将其化为矩阵，然后求矩阵的秩
  2. a1、a2、a3的 极大无关组 一般取阶梯形中拐弯处所在的列向量

方程组的求解

齐次方程组的求解

齐次方程组：等号右边都是0的方程组

该类题型一般是求方程组的基础解系和通解

r为矩阵的秩，n为未知数的个数

  1. r(Amn) = n <=> AX = 0 只有零解(唯一解)
  2. r(Amn) < n <=> AX = 0 有非零解(无穷解)

基础解系：当AX = 0 有无穷解时，解集的极大无关组称为基础解系

基础解系所含解向量的个数 = n - r(A) 个

基础解系求法：把系数矩阵化为行最简形，系数矩阵中自由变量的列各元素取相反数再在自由变量的位置上补上1或者0作为一个基础解系

自由变量：一般是非拐弯处作为自由变量

非齐次方程组的求解

非齐次方程组：等号后面不是0或者不全是0的方程组

r为矩阵的秩，n为未知数的个数

  1. r(A) = r(A|b) < n => AX = b 有无穷解
  2. r(A) = r(A|b) = n => AX = b 有唯一解
  3. r(A) != r(A|b) => AX = b 无解

非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解

自由变量都取0，非齐次方程的一个特解就是增广矩阵最简行阶梯形最后一列的元素

矩阵的特征值与特征向量

特征值与特殊向征的求法

数字型

  1. 求 A 特征值 的方法：|RE-A| = 0 解得 R 即为 A 的特征值

  2. 求 A 的对应 特征向量 的方法：方程组 (RE-A)x = 0 的 基础解系

    (特征向量前面的系数不为0)

抽象型

基本题型：根据未知矩阵A的已知特征值，求另一个复杂矩阵的特征值

关于A的若干性质：

  1. 几阶矩阵就有几个特征值
  2. |A| = 特征值之积
  3. A 的主对角线元素相加 = 特征值之和
  4. A * 特征向量 = 特征值 * 特征向量
posted @ 2023-04-05 19:06  KevenDuan  阅读(403)  评论(0)    收藏  举报