[网络流专练4][魔术球问题]

题目描述

«问题描述：

假设有n根柱子，现要按下述规则在这n根柱子中依次放入编号为1，2，3，...的球。

（1）每次只能在某根柱子的最上面放球。

（2）在同一根柱子中，任何2个相邻球的编号之和为完全平方数。

试设计一个算法，计算出在n根柱子上最多能放多少个球。例如，在4 根柱子上最多可放11 个球。

«编程任务：

对于给定的n，计算在n根柱子上最多能放多少个球。

输入输出格式

输入格式：

第1 行有1个正整数n，表示柱子数。

输出格式：

程序运行结束时，将n 根柱子上最多能放的球数以及相应的放置方案输出。文件的第一行是球数。接下来的n行，每行是一根柱子上的球的编号。

输入输出样例

输入样例#1：

4

输出样例#1：

11
1 8
2 7 9
3 6 10
4 5 11

Solution

1.建模思路：

可以发现，对于任意i<j，且i+j=完全平方数的，就连一条有向边(i,j)

该图是有向无环图DAG，求它的最小路径覆盖就行了

理论内容：

• s->Xi，容量为1。
• Xi->Yj，(i, j)∈E，容量上界为1。
• Yi->t，容量上界为1。

DAG的最小路径覆盖=|V|-对应二分图的最大匹配。

约束是什么？对路径的定义中，有至关重要的一点：允许长度为0。于是解的存在性得到了保证。因此，只需满足：对于任意一点，至多有一条与它关联的入边和与它关联的出边被选中。
二分图的匹配，可以从顶点对应的角度看待，也可以从边的角度看待：选出一些边，使得每个顶点至多与一条边关联。和本问题的约束对比，发现有向无环图不是二分图，并且对于顶点而言，边分为入边和出边两类。考虑把点i拆成Xi、Yi，入边连到Yi，出边从Xi出发。这样，问题的约束便和二分图匹配相一致。
目标是什么？使路径覆盖数最小。除了直接数，还能用什么来刻画路径覆盖数？头的数量或尾的数量。什么样的点是头？没有匹配边与对应的Yi关联。尾？没有匹配边与对应的Xi关联。所以，DAG的最小路径覆盖=|V|-对应二分图的最大匹配。

2.细节

这方面的话，每次枚举A，对于1～A的数跑一遍最大匹配（最大流），求出最小路径覆盖，若小于等于柱子数，则A扩大，当A恰好满足最小路径覆盖大于柱子数时，推出循环，输出A-1即可

感觉n较小的话不如打个表吧