oi常见trick

不定期更新~

Trick

1.令 \(b_i=a_i-i\)，可以将等差数列转化为相同的数

例题：ABC371F

2.对于只和数据间大小关系相关的问题，可以考虑二分答案，并转化为01序列

例题：P2824

3.在博弈题目中，考虑是不是存在一种决策完全优于另一种，可以简化问题

例题：CF2005E1

4.对于\(\sum{^{i=1}_n}A_i = M\) 时，不同的 \(A_i\) 只有 \(O(\sqrt{n})\) 个

例题：ABC371G

5.破环成链！破环成链！破环成链！

例题：ABC370F

6.对于随机数据，对某些量求期望，可能会得到 \(O(\log n)\) 甚至 \(O(1)\) 的结果

例题：from mxoi

7.对于最优解问题中难以解决的情况（复杂度瓶颈），考虑其是否一定不优

例题：ABC308Ex

8.一种神秘的类似"线段树优化建图"的"前缀和优化建图"（详见例题题解from \(0x3b80001\)）

例题：ABC232G

9.斐波那契数列是指数级的，也就是其中 \(\leq n\) 的项数是 \(O(\log n)\) 的

例题：CF177G2

10.考虑操作中的不变量（常见的有：数列的和，前缀和，差分，逆序对奇偶性；树上到根节点的距离，树上差分）

例题：ABC136E，ARC136B，AGC052B，P7962（懒得放链接了）

11.对于无根树，考虑钦定重心为根节点

例题：P5547

12.如果要求一个东西是排列，可以考虑 \(2^n\) 枚举出现的元素的集合，然后做容斥

例题：P3349

13.一个对于数组翻折问题的神秘trick（一句话也讲不清）

例题：CF2077E（具体看@KingPowers大佬的做法）

14.别tm忘记bitset了，这玩意真的可以做正解

例题：联合省选2025D1T2追忆

（红温中）

15.\(\lfloor \frac{x}{2} \rfloor \lceil \frac{x}{2} \rceil = \frac{x^2}{4} - \frac{x \mod 2}{4}\)

例题：CF2077C

16.mex等价于，对于k=0 ~ n，满足0 ~ k都在序列中的数量

例题：CF2084E

思考方式

1.对于图论先考虑简化问题后的解法（比如对于普通图考虑树，对于树考虑链和菊花图）

2.考虑极限情况时的解法（比如建图时为避免负边，先考虑图上的最短边使其为0，详见trick8例题）

神秘建模

P2519