0x33.1 同余、费马小定理和欧拉定理

同余的定义

若整数\(a\)和整数\(b\)除以正整数\(m\)的余数相等，则称 \(a,b\) 模 \(m\) 同余，
记为\(a \equiv b(\mod m)\)。

即：$$m \mid a - b \Leftrightarrow a \equiv b(\mod m)$$

性质：若\(a_1 \equiv b_1(\mod m)\), \(a_2 \equiv b_2(\mod m)\),，那么我们有

1. \(a_1 \pm a_2 \equiv b_1 \pm b_2(\mod m)\)
2. \(a_1 a_2 \equiv b_1 b_2(\mod m)\)
3. \({a_1}^k \equiv {b_1}^k(\mod m)\)

完全剩余系

若\(a≡b(\mod m)\)，则 \(a\) 和 \(b\) 属于模 \(m\) 的一个同余类。
模 \(m\) 的同余类一共有 \(m\) 个，他们构成m的完全剩余系。

简化剩余系

1 ～ \(m\) 中与 \(m\) 互质的数代表的同余类共有 $ \varphi (m)$ 个，他们构成 \(m\) 的简化剩余系。

费马小定理
若\(p\)是质数，则对于任意整数a，有

\[a^p \equiv a (\mod p) \]

注：数学上常用的形式是\(a^{p-1} \equiv 1 (\mod p)\)， 当$ p \nmid a$时。
上面的写法可避免讨论。

练习：
(1) 求整数\(0 \le a < 73\), 使得\(a \equiv 9^{794}(\mod 73)\).

(2) 解\(x^{86} \equiv 6(\mod 29)\).

欧拉定理
若正整数 \(a, n\) 互质，则\(a^{\varphi (n)} \equiv 1(\mod n)\)，其中\(\varphi (n)\)为欧拉函数。

欧拉定理推论
若正整数 \(a, n\) 互质，则\(a^b \equiv a ^ {b \mod \varphi (n)} (\mod n)\)，其中\(\varphi (n)\)为欧拉函数。

特别的，
当a,b不一定互质
且\(b > \varphi (n)\) 时， 有\(a^b \equiv a ^ {b \mod \varphi (n) + \varphi (n)} (\mod n)\)

#### 例 最幸运的数字

8是中国的幸运数字，如果一个数字的每一位都由8构成则该数字被称作是幸运数字。

现在给定一个正整数L，请问至少多少个8连在一起组成的正整数（即最小幸运数字）是L的倍数。

题解

\(x\)个8连在一起组成的数可以表示成\(8(10^x-1)/9\).

所有题目即求最小的x能使得\(L \mid 8(10^x-1)/9\).

该式等价于\(9L \mid 8(10^x-1)\).

记\(m = L/(\gcd(L, 8))\).

那么\(9L \mid 8(10^x-1) \Leftrightarrow 9m \mid 10^x-1\).

即\(10^x \equiv 1(\mod 9m)\)

注意到上次有解的一个前提是\(\gcd (10, 9m)= 1\)
且在此前提下\(10^{\varphi(9m)} \equiv 1(\mod 9m)\)。
所以使得同余式成立的最小正整数\(x_0\)是\(\varphi(9m)\)的约数 (证略)，

现在我们只需枚举\(\varphi(9m)\)的约数，利用快速幂从小到大对约数进行检查即可。
注意：编写快速幂时在本题条件下会出现long long $\times $ long long， 需用到长整型的乘法。